DSE 数学｜概率备课指引（导师用）｜古典概率、互斥、独立事件

2026-10-27

概率题九成错在“要加还是要乘”。一句话决定：同一件事的几条路用加，连续几步用乘。

本堂目标　学生能够：① 用有利结果除以总结果求概率；② 判断互斥事件并相加；③ 判断独立事件并相乘。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
分数运算	计 6/36 约简	1/6
列举	掷两粒骰共有多少组合	36
补集	1 − P(A) 的意义	A 不发生的概率

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	古典概率	有利 ÷ 全部	三题
10–24 分	互斥事件	同时不可能发生就用加	两题
24–40 分	独立事件	互不影响就用乘	两题
40–50 分	补集与至少	P(至少一次) = 1 − P(全部不是)	两题
50–57 分	答题格式	写样本空间再算	改写一题
57–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先写样本空间，再数有利结果

掷两粒骰共有 36 个等可能结果；和为 7 有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 个。
所以 P = 6/36 = 1/6。
样本空间写清楚，就不会漏。

要学生列：和为 5 的组合有几个（4 个）。

第二幕：互斥：加；独立：乘

抽一张牌，是红心或黑桃：互斥，概率相加 = 13/52 + 13/52 = 1/2。
掷两次硬币都是正面：独立，概率相乘 = 1/2 × 1/2 = 1/4。
判断方法：两件事能否同时发生？能——不是互斥。

要学生判断：抽一张牌是红色又是人面，是否互斥（不是，可以同时）。

第三幕：“至少一次”用补集最快

掷三次硬币至少一次正面 = 1 − 全部反面 = 1 − 1/8 = 7/8。
直接加会重复计算，补集只有一种情况。

提醒：看到“至少”，先想补集。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
古典概率	掷两粒骰和为 7	6 ÷ 36	1/6
互斥相加	红心或黑桃	13/52 + 13/52	1/2
独立相乘	两次硬币都正	1/2 × 1/2	1/4
至少一次	掷三次至少一次正	1 − 1/8	7/8

合理性检查（一定要教）：所有可能结果的概率总和必须为 1；若超过 1，表示有重复计算。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
掷两粒骰，和为 5 的概率	1/9	4 ÷ 36
抽一张牌是红色人面的概率	3/26	6 ÷ 52
掷四次硬币至少一次反面	15/16	1 − 1/16

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
互斥与独立混淆	把互斥事件相乘	能否同时发生先判断。
漏数组合	和为 7 只数 3 个	要数有序对。
至少用直接加	重复计算	用补集。
忘记约简	写 6/36	约成 1/6。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　本页三题作课后练习

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
掷两粒骰和为 5 的概率	1/9	三题全对＝可进统计
抽到红色人面的概率	3/26	错一题＝下堂前重讲样本空间
掷四次至少一次反面	15/16	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

要不要用树状图？

多步实验用树状图最稳。

有放回与无放回？

无放回时分母要减 1。

概率与统计的关系？

概率是理论，统计由数据估计。

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