DSE 数学｜二次方程备课指引（导师用）｜因式分解、公式法、判别式与应用

2026-10-27

学生多数只会背公式。这一堂先用因式分解建立“根就是令式子等于零的值”，再用公式补上不能分解的情况。

本堂目标　学生能够：① 用十字相乘法解可分解的二次方程；② 用公式法解一般二次方程；③ 用判别式判断根的性质并解释。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
展开与因式分解	展开 (x−2)(x−3)	x² − 5x + 6
一元一次方程	解 3x − 7 = 8	x = 5
根式化简	化简 √48	4√3

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	根的意义	问 x²−5x+6=0 何时成立	答 x=2 或 3
8–22 分	因式分解	示范十字相乘	自己做三题
22–38 分	公式法	示范 2x²+3x−2=0	自己做两题
38–50 分	判别式	Δ>0、=0、<0 三种情况	判断五题
50–56 分	应用题	面积与数值问题	列式并解
56–60 分	离场检查	发三题，收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：根就是令式子等于零的值

x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)。
两个因数相乘为零，所以 x−2=0 或 x−3=0，即 x=2 或 3。
这句是整个单元的基础。

要学生复述：“乘积为零，所以每个因数都可能为零。”

第二幕：公式法处理不能分解的情况

ax² + bx + c = 0，x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a。
2x² + 3x − 2 = 0：a=2、b=3、c=−2，得 (−3 ± 5)/4，所以 x = 1/2 或 −2。
代入前先写出 a、b、c，错的机会少一半。

提醒：c 是负数时要连负号一齐代入。

第三幕：判别式讲根的性质

Δ = b² − 4ac。
Δ>0：两个相异实根；Δ=0：重根；Δ<0：没有实根。
题目问“求 k 的范围使方程有两个相异实根”，就是解 Δ>0 的不等式。

要学生做：判断三条方程的根数。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
因式分解法	x² − 5x + 6 = 0	(x−2)(x−3)=0	x = 2 或 3
公式法	2x² + 3x − 2 = 0	(−3 ± 5)/4	x = 1/2 或 −2
判别式	x² + 2x + 5 = 0	Δ = 4 − 20 = −16 < 0	没有实根
求范围	x² + kx + 4 = 0 有重根	Δ = k² − 16 = 0	k = ±4

合理性检查（一定要教）：把根代回原式一定成立；另外，Δ 算错多数是 b² 与 4ac 的正负号，先写 a、b、c 再代入。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
x² − 7x + 12 = 0	x = 3 或 4	能否因式分解
x² + x − 1 = 0	x = (−1 ± √5)/2	公式法与根式化简
x² + 4x + 9 = 0 的根数	没有实根（Δ<0）	判别式正负

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
只取一个根	答 x = 2	二次方程通常有两个根，两个都要写。
c 的符号错	把 −2 当 2 代入	先写 a、b、c 连符号。
Δ 判断相反	Δ<0 说有两个根	Δ 负数代表没有实根。
忘记验算	答案写完就算	代回原式检查。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学章节索引　本页三题作课后练习

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
x²−5x+6=0 的根	2 或 3	三题全对＝可进函数
Δ<0 代表什么	没有实根	错一题＝下堂前重讲判别式
2x²+3x−2=0 的根	1/2 或 −2	错两题以上＝回到第二幕

09　导师常问

要先教配方法吗？

DSE 只需认识；解方程以因式分解与公式法为主。

计算机可用吗？

可以用来验算，但代入 a、b、c 要手写一次。

应用题出什么？

面积、连续整数、两数之和与积这三类最常见。

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