DSE 数学｜二次函数与图像备课指引（导师用）｜配方法、顶点、判别式与图像关系

2026-10-27

学生识解方程，但一看图就乱。这一堂把“式子 ↔ 图像”的三个开关讲清楚：a 管开口，顶点管最高最低，判别式管有几个交点。

本堂目标　学生能够：① 用配方法把 y = ax² + bx + c 写成顶点式；② 说出顶点、对称轴与开口方向；③ 由判别式判断图像与 x 轴的交点数目。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
二次方程	解 x² − 5x + 6 = 0	x = 2 或 3
配方法	把 x² − 4x 写成 (x − 2)² − 4	正确
函数概念	说出 f(2) 是什么意思	把 x = 2 代入

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	三个开关	a、顶点、判别式各管什么	复述三个开关
8–22 分	配方法	示范 y = x² − 4x + 3	自己做两题
22–36 分	读图	给图说出顶点与对称轴	自己写出两条
36–50 分	判别式与交点	Δ>0、=0、<0 三种图	配对五题
50–56 分	应用	最大面积问题	列式并求顶点
56–60 分	离场检查	发三题，收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：a 管开口，符号决定上下

y = ax² + bx + c，a > 0 开口向上，有最小值；a < 0 开口向下，有最大值。
|a| 越大，图像越窄。
所以先看 a，就知道图的形状。

要学生判断三条方程的开口方向。

第二幕：配方法找顶点

y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1。
顶点是 (2, −1)，对称轴是 x = 2。
记法：顶点式的 h 是“令括号为零”的 x，k 是最小值。

要学生做：y = x² + 6x + 5 的顶点是 (−3, −4)。

第三幕：判别式管交点数目

Δ = b² − 4ac。Δ > 0：与 x 轴有两个交点（即两个实根）；Δ = 0：只碰到一点（重根）；Δ < 0：完全不接触（没有实根）。
所以方程与图像其实讲同一件事。

提醒：“没有实根”不等于“没有解”，只是没有实数解。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
配方法	y = x² − 4x + 3	(x − 2)² − 1	顶点 (2, −1)，对称轴 x = 2
开口与最值	y = −2x² + 4x	a < 0，有最大值	最大值 2（顶点 (1, 2)）
判别式	y = x² + 2x + 5	Δ = 4 − 20 = −16	与 x 轴无交点
应用	围栏长 20 m 的长方形最大面积	设阔 x，面积 x(10 − x)	x = 5 时最大 25 m²

合理性检查（一定要教）：顶点的 y 值必为最值：a > 0 是最小值，a < 0 是最大值；若答“最小值”但 a < 0，一定错。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
y = x² + 6x + 5 的顶点	(−3, −4)	配方法是否正确
y = 2x² − 8x + 1 的对称轴	x = 2	−b/2a
y = x² − 2x + 3 与 x 轴的交点数	0 个（Δ = −8）	判别式符号

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
配方法漏常数	x² − 4x + 3 = (x − 2)² + 3	要把 +4 减回：−1。
顶点符号错	y = (x − 2)² − 1 答顶点 (−2, −1)	括号内减 2，h = +2。
a<0 说有最小值	y = −x² 答最小值 0	开口向下是最大值。
Δ<0 说有两个根	判别式负数仍答两根	Δ 负代表没有实根。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　本页三题作课后练习

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
y = x² − 4x + 3 的顶点	(2, −1)	三题全对＝可进对数
a < 0 的图像有什么最值	最大值	错一题＝下堂前重讲三个开关
Δ = 0 代表什么	只有一个交点（重根）	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

要不要背顶点公式？

可以记 x = −b/2a 作验算，但配方法要懂，因为后面求最值要用。

图像题要画得多准？

只需标出顶点、对称轴与交点，不必逐点描。

与二次方程那一章有何分别？

那一章求根，这一章求形状与最值，同一个式子的两种读法。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。