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DSE 數學練習卷：指數、對數與數列（12 題・100 分・75 分鐘）
練習卷 · DSE 數學 指數對數與數列全卷
本卷針對 HKDSE 數學必修部分指數、對數與數列單元設計，共 12 題、滿分 100 分、時限 75 分鐘。甲部 Q1–Q4（32 分）考指數律、對數與等差數列；乙部 Q5–Q8（36 分）考等比數列、無限和與複利折舊；丙部 Q9–Q12（32 分）考求和符號、求公比與指數方程。所有數值以程式計算並核對。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部 指數與對數
短答與計算題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 化簡下列各式（答案用分數或整數表示）：(a) 2⁵ × 2⁻⁸；(b) 27 的 2/3 次方；(c) 81 的 −1/2 次方。 | (a) 2⁵ × 2⁻⁸ = 2⁻³ = 1/8。(b) 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9。(c) 81^(−1/2) = 1 ÷ 81^(1/2) = 1 ÷ 9 = 1/9。 |
| 2 | 求下列各值：(a) log₂ 32；(b) log₃（1/9）；(c) 解方程 log₁₀ x + log₁₀ 2 = 3。 | (a) log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5。(b) log₃（1/9）= log₃ 3⁻² = −2。(c) log₁₀(2x) = 3，故 2x = 1000，x = 500。 |
| 3 | 解下列指數方程：(a) 2^(x+1) = 32；(b) 5^(2x) = 125；(c) 由此說明 (a) 與 (b) 的解在數線上哪一個較大。 | (a) 2^(x+1) = 2⁵，故 x + 1 = 5，x = 4。(b) 5^(2x) = 5³，故 2x = 3，x = 3/2。(c) 4 大於 1.5，所以 (a) 的解較大。 |
| 4 | 某等差數列首項為 7，公差為 4。(a) 求第 20 項；(b) 求首 20 項之和；(c) 求首 n 項之和不小於 1000 的最小 n。 | (a) T₂₀ = 7 + 19 × 4 = 83。(b) S₂₀ = 20 × (7 + 83) ÷ 2 = 900。(c) Sₙ = n(4n + 10) ÷ 2 = 2n² + 5n；解 2n² + 5n 不小於 1000，得最小 n = 22。 |
乙部 等差與等比數列
應用與情境題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 某等比數列首項為 3，公比為 2。(a) 求第 10 項；(b) 求首 10 項之和；(c) 判斷首 10 項之和的末位數字，並說明理由。 | (a) T₁₀ = 3 × 2⁹ = 1536。(b) S₁₀ = 3 × (2¹⁰ − 1) ÷ (2 − 1) = 3,069。(c) 末位為 9；因 3 × 1023 = 3069，個位由 3 × 3 得 9。 |
| 6 | 某無限等比數列首項為 8，公比為 0.6。(a) 求第 3 項；(b) 說明該數列為何有無限和，並求無限和；(c) 求首 4 項之和。 | (a) T₃ = 8 × 0.6² = 2.88。(b) 因公比的絕對值小於 1，無限和存在：S∞ = 8 ÷ (1 − 0.6) = 20。(c) S₄ = 8 × (1 − 0.6⁴) ÷ 0.4 = 8 × 0.8704 ÷ 0.4 = 17.408。 |
| 7 | 某人存入 50,000 元，年利率 4%，每年複利一次，為期 3 年。(a) 求 3 年後的本利和；(b) 求利息總額；(c) 若改為單利，利息會少收多少？ | (a) 本利和 = 50,000 × 1.04³ = 56,243.20 元。(b) 利息 = 56,243.20 − 50,000 = 6,243.20 元。(c) 單利利息 = 50,000 × 4% × 3 = 6,000 元，故少收 243.20 元。 |
| 8 | 一部機器原值 240,000 元，每年按 15% 折舊（餘額遞減法）。(a) 求 4 年後的價值；(b) 求這 4 年的總折舊額；(c) 求價值首次低於 150,000 元時的年數。 | (a) 4 年後價值 = 240,000 × 0.85⁴ = 125,281.50 元。(b) 總折舊額 = 240,000 − 125,281.50 = 114,718.50 元。(c) 第 3 年值 240,000 × 0.85³ = 147,390 元，已低於 150,000，故為第 3 年。 |
丙部 求和、複利與指數方程
綜合運算題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 求下列各和：(a) Σ（k 由 1 到 10）(3k − 2)；(b) Σ（k 由 1 到 8）2^(k−1)；(c) 比較兩者的增長方式。 | (a) 首項 1、末項 28、共 10 項：和 = 10 × (1 + 28) ÷ 2 = 145。(b) 首項 1、公比 2、共 8 項：和 = 1 × (2⁸ − 1) ÷ 1 = 255。(c) (a) 為等差和，隨項數線性增長；(b) 為等比和，隨項數指數增長。 |
| 10 | 某等比數列第 3 項為 12，第 6 項為 96。(a) 求公比；(b) 求首項；(c) 求第 9 項。 | (a) T₆ ÷ T₃ = r³ = 8，故 r = 2。(b) 首項 = 12 ÷ 2² = 3。(c) T₉ = 3 × 2⁸ = 768。 |
| 11 | 某培養皿的細菌數目 N = 500 × 3^t，t 為小時。(a) 求 N = 40,500 時的 t；(b) 求 N = 4,500 時的 t；(c) 由 (a) 與 (b) 說明 t 每增加 1 小時，N 的變化。 | (a) 3^t = 81，故 t = 4。(b) 3^t = 9，故 t = 2。(c) 由 t = 2 到 t = 4 共 2 小時，N 由 4,500 增至 40,500 即 9 倍，故每小時乘 3。 |
| 12 | 解方程 3^(2x) − 4 × 3^x + 3 = 0。（提示：設 y = 3^x）寫出全部實數解，並驗算其中一個解。 | 設 y = 3^x，方程化為 y² − 4y + 3 = 0，即 (y − 1)(y − 3) = 0，故 y = 1 或 y = 3。由 3^x = 1 得 x = 0；由 3^x = 3 得 x = 1，即 x = 0 或 x = 1。驗算 x = 0：3⁰ − 4 × 3⁰ + 3 = 1 − 4 + 3 = 0。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。