中文（繁體）
中文（简体）
English
DSE 數學練習卷：指數、對數與數列（12 題・100 分）
練習卷 · DSE 數學指數對數與數列全卷
DSE 數學練習卷：指數、對數與數列，12 題共 100 分、75 分鐘，涵蓋指數定律與化簡、對數定律與對數方程、等差與等比數列的通項及求和、無限等比數列之和，以及人口增長與半衰期等應用模型，附完整答案與評分要點。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：指數與對數運算（第 1 至 4 題，共 24 分）
回答全部題目；計算題須列出公式、代入數值及單位，並在必要時取四位小數。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 化簡下列各題。(a) 2³ × 2⁻⁵，答案以分數表示。 (b) (3x²)³ ÷ 9x⁴。 (c) 求 log₂ 32 的值。（6 分） | (a) 2³ × 2⁻⁵ = 2^(3 − 5) = 2⁻² = 1/4〔指數相加 1 分；答案 1 分〕 (b) (3x²)³ = 27x⁶，除以 9x⁴ 得 3x²〔2 分〕 (c) 32 = 2⁵，故 log₂ 32 = 5〔指數式與對數式互換 1 分；答案 1 分〕 |
| 2 | 解下列方程。(a) log₃(x + 2) = 2。 (b) 2^(x + 1) = 16。（6 分） | (a) log₃(x + 2) = 2 即 x + 2 = 3² = 9，故 x = 7〔化成指數式 1 分；解方程 1 分；答案 1 分〕 (b) 16 = 2⁴，故 x + 1 = 4，x = 3〔同底比較 2 分；答案 1 分〕 |
| 3 | 已知 log 2 = 0.3010 及 log 3 = 0.4771（四位小數）。(a) 求 log 12。 (b) 求 log 1.5。 (c) 求 log 8。（6 分） | (a) log 12 = log(2² × 3) = 2 log 2 + log 3 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791〔1 分〕 (b) log 1.5 = log(3 ÷ 2) = 0.4771 − 0.3010 = 0.1761〔1 分〕 (c) log 8 = log 2³ = 3 log 2 = 0.9030〔1 分，須寫四位小數〕 |
| 4 | (a) 解 3^(2x) = 27^(x − 1)。 (b) 求 log₅(1/25) 的值。（6 分） | (a) 27 = 3³，故 3^(2x) = 3^(3x − 3)，比較指數得 2x = 3x − 3，x = 3〔2 分；答案 1 分〕 (b) 1/25 = 5⁻²，故 log₅(1/25) = −2〔1 分；答案 2 分，須為負數〕 |
乙部：等差與等比數列（第 5 至 8 題，共 32 分）
解方程須寫出關鍵步驟，並檢查答案是否在定義域之內。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 等差數列首項為 7，公差為 −3。(a) 求通項 T(n)。 (b) 求 T(10)。 (c) 求首 15 項之和 S(15)。 (d) 求首個負項。（8 分） | (a) T(n) = 7 + (n − 1)(−3) = 10 − 3n〔2 分〕 (b) T(10) = 10 − 30 = −20〔2 分〕 (c) S(15) = 15/2 × (2 × 7 + 14 × (−3)) = 7.5 × (−28) = −210〔公式 1 分；代入 1 分；答案 1 分〕 (d) 令 10 − 3n 小於 0 得 n 大於 10/3，故首個負項為 T(4) = −2〔1 分〕 |
| 6 | 等比數列首項為 3，公比為 2。(a) 寫出通項 T(n)。 (b) 求 T(8)。 (c) 求 S(10)。 (d) 求最小 n 使 T(n) 大於 1000。（8 分） | (a) T(n) = 3 × 2^(n − 1)〔2 分〕 (b) T(8) = 3 × 2⁷ = 384〔2 分〕 (c) S(10) = 3(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 3 × 1023 = 3069〔2 分〕 (d) 3 × 2^(n − 1) 大於 1000 即 2^(n − 1) 大於 333.3，n − 1 ≥ 9，故 n = 10（T(10) = 1536）〔2 分〕 |
| 7 | 等比數列首項為 8，公比為 3/4。(a) 求無限和 S(∞)。 (b) 求 T(4)。 (c) 求 S(5)。 (d) 寫出公比須滿足的條件，使無限和存在。（8 分） | (a) S(∞) = 8 ÷ (1 − 3/4) = 8 ÷ 1/4 = 32〔2 分〕 (b) T(4) = 8 × (3/4)³ = 8 × 27/64 = 27/8 = 3.375〔2 分〕 (c) S(5) = 8(1 − (3/4)⁵) ÷ (1/4) = 32 × 0.762695… = 781/32 ≈ 24.41〔2 分〕 (d) 公比的絕對值小於 1，即 −1 小於 r 小於 1〔2 分〕 |
| 8 | 某市人口為 200 000，每年增長 5%。(a) 寫出 n 年後人口的表示式。 (b) 求 5 年後人口（取整數）。 (c) 求最小 n 使人口超過 300 000。（8 分） | (a) P(n) = 200 000 × 1.05^n〔2 分〕 (b) P(5) = 200 000 × 1.05⁵ = 255 256.3，即約 255 256 人〔2 分；取整 1 分〕 (c) 1.05^n 大於 1.5，取對數得 n 大於 8.31，故 n = 9〔2 分；答案 1 分〕 |
丙部：方程、應用與論述（第 9 至 12 題，共 44 分）
應用題須說明所用的數列或函數模型，並以完整句子解釋結論。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 解 4^x − 5(2^x) + 4 = 0。 (b) 解 log x + log(x − 3) = 1。（10 分） | (a) 設 y = 2^x，方程化為 y² − 5y + 4 = 0，y = 1 或 4，故 x = 0 或 2〔代換 2 分；解二次 2 分；答案 1 分〕 (b) log[x(x − 3)] = 1 即 x² − 3x − 10 = 0，x = 5 或 −2；因對數定義域須 x 大於 3，故 x = 5（−2 捨去）〔方程 2 分；解 1 分；捨根 1 分；答案 1 分〕 |
| 10 | 禮堂第一排有 15 個座位，其後每排比前一排多 2 個，共 20 排。(a) 求第 20 排座位數。 (b) 求全場座位總數。 (c) 若場地最多容納 700 人，20 排是否足夠？並求最多可設的排數。（10 分） | (a) 第 20 排 = 15 + 19 × 2 = 53 個座位〔3 分〕 (b) S(20) = 20/2 × (15 + 53) = 10 × 68 = 680〔4 分〕 (c) 20 排提供 680 座，少於 700，足夠；S(21) = 21/2 × (15 + 55) = 735 已超上限，故最多 20 排〔判斷 1 分；計算 2 分〕 |
| 11 | 數列 5, 15, 45, … (a) 證明此數列為等比數列，並求 T(6)。 (b) 求 S(6)。 (c) 求最小 n 使 S(n) 大於 5000。（12 分） | (a) 15 ÷ 5 = 3，45 ÷ 15 = 3，公比固定為 3，故為等比數列；T(6) = 5 × 3⁵ = 1215〔證明 2 分；答案 2 分〕 (b) S(6) = 5(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 5 × 728 ÷ 2 = 1820〔3 分〕 (c) 5(3^n − 1)/2 大於 5000 即 3^n 大於 2001；3⁷ = 2187 已足夠，故 n = 7（S(7) = 5465）〔不等式 2 分；試算 2 分；答案 1 分〕 |
| 12 | 某放射性樣本質量 80 mg，半衰期為 6 小時。(a) 寫出 t 小時後質量 m(t) 的表示式。 (b) 求 18 小時後的質量。 (c) 求最少多少個整數小時後，質量低於 5 mg。（12 分） | (a) m(t) = 80 × (1/2)^(t/6)〔3 分〕 (b) m(18) = 80 × (1/2)³ = 80 ÷ 8 = 10 mg〔4 分〕 (c) 80 × (1/2)^(t/6) 小於 5 即 (1/2)^(t/6) 小於 1/16，故 t/6 大於 4，t 大於 24；最少 25 小時〔不等式 2 分；對數或試算 2 分；答案 1 分〕 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
