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DSE 物理練習卷：力學與圓周運動（12 題・100 分・75 分鐘）
練習卷 · DSE 物理力學與圓周運動全卷
HKDSE 物理練習卷：力學與圓周運動，12 題 100 分 75 分鐘，涵蓋勻加速運動、拋體運動、摩擦力與牛頓定律、動量守恆、向心加速度與圓周運動、豎直圓周、衛星軌道與重力、能量守恆、力矩平衡、彈簧振動及衝量，附完整計算步驟與評分要點。
卷面資料 年級：中四至中六（S4–S6） ｜ 科目：物理 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部 運動學、力與動量（第 1–4 題，32 分）
每題 8 分；須寫出所用公式、代入數值及單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 一輛汽車由靜止開始以均勻加速度行駛，8.0 s 後速度達 20 m/s。(a) 求加速度。(b) 求這 8.0 s 內行駛的距離。(c) 求 4.0 s 時的速率。(d) 求全程的平均速率。 | (a) 加速度 a = (v − u) ÷ t = 20 ÷ 8.0 = 2.5 m/s²。〔2 分〕(b) 距離 s = ½at² = ½ × 2.5 × 8.0² = 80 m。〔3 分〕(c) v = u + at = 2.5 × 4.0 = 10 m/s。〔1 分〕(d) 平均速率 = 80 ÷ 8.0 = 10 m/s，與初末速率的平均值相同。〔2 分〕評分要點：勻加速運動可用 s = ½(u + v)t；答案須帶單位。 |
| 2 | 一個小球從 20 m 高的水平桌面以 15 m/s 水平拋出，取 g = 10 m/s²，忽略空氣阻力。(a) 求小球著地所需時間。(b) 求水平射程。(c) 求著地時的鉛直速度分量。(d) 求著地時的速率。 | (a) 由 h = ½gt²，t = √(2h ÷ g) = √(2 × 20 ÷ 10) = 2.0 s。〔2 分〕(b) 射程 = 15 × 2.0 = 30 m。〔2 分〕(c) 鉛直速度 = gt = 10 × 2.0 = 20 m/s，方向向下。〔2 分〕(d) 速率 = √(15² + 20²) = 25 m/s。〔2 分〕評分要點：水平與鉛直運動互不影響；著地速率不是兩個分量的算術和。 |
| 3 | 一個 4.0 kg 的木箱放在水平地面上，木箱與地面間的動摩擦因數為 0.25。以 30 N 的水平力推木箱，取 g = 10 m/s²。(a) 求木箱所受的摩擦力。(b) 求木箱的加速度。(c) 求木箱由靜止起 3.0 s 內移動的距離。(d) 若在 3.0 s 末撤去推力，求木箱再滑行的距離。 | (a) 摩擦力 f = μmg = 0.25 × 4.0 × 10 = 10 N。〔2 分〕(b) 合力 = 30 − 10 = 20 N，a = 20 ÷ 4.0 = 5.0 m/s²。〔2 分〕(c) s = ½at² = ½ × 5.0 × 3.0² = 22.5 m。〔2 分〕(d) 3.0 s 末速率 v = 5.0 × 3.0 = 15 m/s；撤去推力後減速度 = μg = 2.5 m/s²，滑行距離 = v² ÷ (2 × 2.5) = 225 ÷ 5 = 45 m。〔2 分〕評分要點：摩擦力方向與運動方向相反；撤去推力後只剩摩擦力。 |
| 4 | 一輛質量 2.0 kg 的玩具車以 3.0 m/s 撞向一輛靜止、質量 4.0 kg 的玩具車。碰撞後兩車黏在一起。(a) 求碰撞前的總動量。(b) 求碰撞後兩車的共同速度。(c) 求碰撞前後動能的損失。(d) 說明這類碰撞為何動能不守恆。 | (a) 總動量 = 2.0 × 3.0 = 6.0 kg m/s。〔2 分〕(b) 由動量守恆，6.0 = (2.0 + 4.0)v，v = 1.0 m/s。〔2 分〕(c) 碰撞前動能 = ½ × 2.0 × 3.0² = 9.0 J；碰撞後 = ½ × 6.0 × 1.0² = 3.0 J；損失 = 6.0 J。〔2 分〕(d) 兩車黏合屬完全非彈性碰撞，部分動能轉化為熱能、聲能及使車身變形所需的內能，故動能不守恆，但動量仍然守恆。〔2 分〕評分要點：動量是向量，方向相反時須帶負號。 |
乙部 圓周運動、重力與能量（第 5–8 題，36 分）
每題 9 分；圓周運動與重力題目須標明方向。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 一輛質量 1,200 kg 的汽車以 20 m/s 沿半徑 50 m 的水平圓形跑道行駛，取 g = 10 m/s²。(a) 求汽車的向心加速度。(b) 求路面對汽車提供的向心力。(c) 求輪胎與路面之間所需的最小靜摩擦因數。(d) 若跑道改為傾斜路面，說明傾角如何影響所需的摩擦力。 | (a) a = v² ÷ r = 20² ÷ 50 = 8.0 m/s²。〔2 分〕(b) F = ma = 1,200 × 8.0 = 9,600 N。〔2 分〕(c) 摩擦力上限為 μmg，故 μ ≥ (mv² ÷ r) ÷ (mg) = v² ÷ (gr) = 400 ÷ 500 = 0.80。〔3 分〕(d) 傾斜路面令法向力的分量指向圓心，提供部分向心力，所需摩擦力因此減少；傾角越大所需摩擦力越小，但傾角過大時低速的汽車會向內滑。〔2 分〕評分要點：向心力是合力而不是新增的力；所需 μ 與質量無關。 |
| 6 | 一個質量 0.20 kg 的小球以長 0.50 m 的細繩在鉛直平面內作圓周運動，取 g = 10 m/s²。(a) 求小球在最高點速率為 3.0 m/s 時的向心加速度。(b) 求此時繩的張力。(c) 求小球能在最高點保持圓周運動的最小速率。(d) 解釋為何繩在最低點的張力大於在最高點。 | (a) a = v² ÷ r = 3.0² ÷ 0.50 = 18 m/s²。〔2 分〕(b) 在最高點，mg + T = mv² ÷ r，T = 0.20 × 18 − 0.20 × 10 = 3.6 − 2.0 = 1.6 N。〔3 分〕(c) 最小速率時 T = 0，v = √(gr) = √(10 × 0.50) = 2.24 m/s。〔2 分〕(d) 在最低點，張力須同時克服重力並提供向心力（T − mg = mv² ÷ r），而該處速率最大，故張力最大。〔2 分〕評分要點：最高點重力與張力同向；最低點兩者方向相反。 |
| 7 | 一顆人造衛星在半徑 7.0 × 10⁶ m 的圓軌道上環繞地球運行，地球的 GM = 4.0 × 10¹⁴ m³ s⁻²。(a) 求衛星的軌道速率。(b) 求衛星的週期，並以分鐘表示。(c) 若軌道半徑增至原來的兩倍，求速率的變化倍數。(d) 解釋在軌衛星內的太空人為何感到失重。 | (a) v = √(GM ÷ r) = √(4.0 × 10¹⁴ ÷ 7.0 × 10⁶) ≈ 7.6 × 10³ m/s。〔2 分〕(b) T = 2πr ÷ v ≈ 2π × 7.0 × 10⁶ ÷ 7,560 ≈ 5,820 s，即約 97 分鐘。〔3 分〕(c) 因 v ∝ 1 ÷ √r，半徑加倍後速率變為原來的 1 ÷ √2，即約 0.71 倍。〔2 分〕(d) 太空人與太空船以相同加速度自由下落，座椅對太空人的法向力為零，故感覺不到支持力而形成失重感；重力其實仍然存在並提供向心力。〔2 分〕評分要點：向心力由重力提供；週期計算要用 2πr ÷ v。 |
| 8 | 一輛質量 500 kg 的過山車由靜止從 20 m 高的斜坡頂滑下，取 g = 10 m/s²。(a) 若不計摩擦，求過山車到達坡底時的速率。(b) 求此時的動能。(c) 若滑行中因摩擦損失 20% 的機械能，求實際到達坡底的速率。(d) 說明為何實際速率小於理論值。 | (a) mgh = ½mv²，v = √(2gh) = √(2 × 10 × 20) = 20 m/s。〔2 分〕(b) 動能 = ½ × 500 × 20² = 1.0 × 10⁵ J。〔2 分〕(c) 可用機械能為原來的 80%，v = √(0.80 × 2 × 10 × 20) = √320 ≈ 17.9 m/s。〔3 分〕(d) 摩擦把部分機械能轉化為熱能與聲能，機械能不再守恆，故實際速率低於無摩擦時的理論值。〔2 分〕評分要點：能量守恆只在無摩擦時直接適用；損失比例作用於總機械能。 |
丙部 力矩、彈簧與碰撞（第 9–12 題，32 分）
每題 8 分；力矩題要標明支點，碰撞題要設定正方向。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 一塊長 3.0 m、質量 20 kg 的均勻木板在中點被支撐。一個質量 40 kg 的小孩坐在距支點 1.0 m 處，取 g = 10 m/s²。(a) 求小孩對木板造成的力矩。(b) 若在支點另一側放置一個 30 kg 的重物使木板平衡，求重物與支點的距離。(c) 木板本身的重力是否造成力矩？加以解釋。(d) 若把支點移向小孩一方，說明木板會如何轉動。 | (a) 力矩 = 40 × 10 × 1.0 = 400 N m。〔2 分〕(b) 由力矩平衡，30 × 10 × x = 400，x = 400 ÷ 300 ≈ 1.33 m。〔3 分〕(c) 均勻木板的重心在支點上，重力作用線通過支點，力臂為零，故不造成力矩。〔1 分〕(d) 支點移向小孩一方後，小孩的力臂縮短而重物的力臂相對增大，木板會向重物一方轉動。〔2 分〕評分要點：力矩 = 力 × 垂直距離；平衡條件是順時針力矩等於逆時針力矩。 |
| 10 | 一個質量 0.50 kg 的砝碼掛在勁度係數 200 N/m 的彈簧下端並處於靜止，取 g = 10 m/s²。(a) 求彈簧的伸長量。(b) 求把砝碼向下拉少許後放開時的振動週期。(c) 求振動頻率。(d) 說明若改用較硬的彈簧，週期會如何改變。 | (a) mg = ke，e = 0.50 × 10 ÷ 200 = 0.025 m，即 2.5 cm。〔2 分〕(b) T = 2π√(m ÷ k) = 2π√(0.50 ÷ 200) = 2π × 0.050 ≈ 0.31 s。〔3 分〕(c) f = 1 ÷ T ≈ 3.2 Hz。〔1 分〕(d) 較硬的彈簧 k 較大，由 T = 2π√(m ÷ k) 可知週期較小，振動加快、頻率上升。〔2 分〕評分要點：週期只取決於質量與勁度，與振幅無關。 |
| 11 | 一枚硬幣放在半徑 0.15 m 的水平轉盤上，硬幣與轉盤間的靜摩擦因數為 0.40，取 g = 10 m/s²。(a) 求硬幣隨轉盤轉動時的最大角速度。(b) 求此時硬幣的線速率。(c) 求轉盤每秒最多轉多少圈。(d) 解釋為何硬幣在轉速過快時會向外滑出。 | (a) 最大靜摩擦力提供向心力：μmg = mω²r，ω = √(μg ÷ r) = √(4.0 ÷ 0.15) ≈ 5.2 rad/s。〔3 分〕(b) v = ωr = 5.16 × 0.15 ≈ 0.77 m/s。〔2 分〕(c) 每秒圈數 = ω ÷ 2π = 5.16 ÷ 6.28 ≈ 0.82 圈。〔1 分〕(d) 轉速增加令所需向心力 mω²r 增大，當它超過最大靜摩擦力時，摩擦力不足以提供向心力，硬幣便向外滑出。〔2 分〕評分要點：所需向心力隨 ω 的平方增加；質量在計算中約去。 |
| 12 | 一個質量 0.15 kg 的球以 20 m/s 垂直撞向牆壁，並以 15 m/s 沿原路線反彈，球與牆的接觸時間為 0.050 s。(a) 求球動量的變化。(b) 求牆對球的平均力。(c) 求牆對球的衝量。(d) 說明為何 (b) 求得的只是平均力。 | (a) 取遠離牆為正，動量變化 = 0.15 × 15 − 0.15 × (−20) = 2.25 + 3.0 = 5.25 kg m/s，方向遠離牆。〔2 分〕(b) F = Δp ÷ t = 5.25 ÷ 0.050 = 105 N。〔3 分〕(c) 衝量 = Δp = 5.25 N s，方向遠離牆。〔1 分〕(d) 接觸期內力隨時間變化，壓縮最大時力最大，故牛頓第二定律在整段接觸時間給出的是平均值。〔2 分〕評分要點：動量與衝量都是向量；反彈時速度須變號。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。