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HKDSE 數學延伸部分單元一（M1）模擬卷（8 題・100 分）
練習卷 · HKDSE 數學 M1
HKDSE 數學延伸部分單元一（M1）模擬卷，全卷 8 題、100 分、限時 2 小時 30 分。甲部 50 分：二項式定理、指數與對數方程、乘積與連鎖法則求導及切線、定積分與曲線下面積。乙部 50 分：梯形法則數值積分、二項分佈、泊松分佈、正態分佈與標準化。題目與答案 100% 原創，附逐題評分要點。
卷面資料 年級：中四至中六（HKDSE） ｜ 科目：數學（延伸單元一） ｜ 時限：150 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：8
甲部：二項式、指數與對數、求導與積分（50 分）
結構題：須寫出完整步驟、代入過程及單位；概率答案須先寫分佈及參數。全卷 8 題，共 100 分，時限 2 小時 30 分，可使用計算機。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 將 (1 ＋ 2x)7 展開至 x³ 項（即列出常數項至 x³ 的係數）。 (b) 求 (1 − 3x)9 展開式中 x⁴ 的係數。 |
答案：(a) 由二項式定理，係數為 C(7,k)·2^k：x⁰＝1、x¹＝14、x²＝84、x³＝280，故 (1 ＋ 2x)⁷ ＝ 1 ＋ 14x ＋ 84x² ＋ 280x³ ＋ …。(b) 一般項為 C(9,r)(−3x)^r，取 r＝4：C(9,4)×(−3)⁴ ＝ 126 × 81 ＝ 10206。（評分要點：須寫出二項式一般項；只寫答案而無展開步驟最多得一半分） |
| 2 | (a) 解方程 2x+1 ＝ 52x，答案準確至 3 位有效數字。 (b) 解方程 log₂x ＋ log₂(x − 3) ＝ 2，並說明為何要捨去其中一個根。 |
答案：(a) 兩邊取自然對數：(x ＋ 1)ln2 ＝ 2x·ln5，整理得 x(2ln5 − ln2) ＝ ln2，故 x ＝ ln2 ÷ (2ln5 − ln2) ＝ 0.2744 ≈ 0.274。(b) 合併對數：log₂[x(x − 3)] ＝ 2，即 x² − 3x ＝ 4，x² − 3x − 4 ＝ 0，(x − 4)(x ＋ 1) ＝ 0，得 x ＝ 4 或 x ＝ −1；因對數要求 x ＞ 3，故捨去 x ＝ −1，答案 x ＝ 4。（評分要點：漏寫定義域檢查扣 2 分） |
| 3 | 設 y ＝ x²e3x。 (a) 求 dy/dx，並以乘積法則及連鎖法則說明步驟。 (b) 求曲線在 x ＝ 1 處的切線方程，答案以 e 表示。 |
答案：(a) 設 u ＝ x²、v ＝ e^3x，u′ ＝ 2x、v′ ＝ 3e^3x；dy/dx ＝ 2x·e^3x ＋ x²·3e^3x ＝ e^3x(2x ＋ 3x²)。(b) x ＝ 1 時 y ＝ e³，斜率 ＝ e³(2 ＋ 3) ＝ 5e³ ＝ 100.4；切線：y − e³ ＝ 5e³(x − 1)，即 y ＝ 5e³x − 4e³（y 截距 −4e³ ＝ 20.1）。（評分要點：漏乘 v′ 只得一半分；切線須用點斜式並化簡） |
| 4 | 曲線 y ＝ x² − x − 2 與 x 軸相交於 A、B 兩點。 (a) 求 A、B 的坐標。 (b) 求曲線與 x 軸所圍成的區域面積，答案以分數表示。 |
答案：(a) 令 x² − x − 2 ＝ 0，(x − 2)(x ＋ 1) ＝ 0，故 A(−1, 0)、B(2, 0)。(b) 面積 ＝ |∫(−1→2)(x² − x − 2)dx|，原函數為 x³/3 − x²/2 − 2x；代入 2 得 -3.3333，代入 −1 得 1.1667，面積 ＝ |-3.3333 − (1.1667)| ＝ 4.5000 ＝ 9/2 平方單位。（評分要點：須寫出原函數及上下限；漏絕對值而負數作答扣 2 分） |
乙部：數值積分、離散與連續概率分佈（50 分）
結構題：須寫出完整步驟、代入過程及單位；概率答案須先寫分佈及參數。全卷 8 題，共 100 分，時限 2 小時 30 分，可使用計算機。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 下表為函數 f(x) 在五個點的取值：x ＝ 0、0.5、1.0、1.5、2.0 時，f(x) 分別為 1.000、1.284、1.649、2.117、2.718。 (a) 用梯形法則（5 個測點、4 個小區間）估算 ∫₀²f(x)dx，答案準確至 3 位小數。 (b) 說明若把區間數目加倍，估算值一般會如何改變，並指出梯形法則的誤差方向。 |
答案：(a) 步長 h ＝ 0.5，梯形法則：h/2 × [f₀ ＋ f₄ ＋ 2(f₁ ＋ f₂ ＋ f₃)]，＝ 0.25 × [1.000 ＋ 2.718 ＋ 2 × (1.284 ＋ 1.649 ＋ 2.117)]＝ 0.25 × 13.818 ＝ 3.4545 ≈ 3.454。(b) 區間數目加倍（h 減半）時，梯形法則為二階方法，誤差約按 1/4 縮小，估算值會趨近真值；對上凸或下凹曲線其誤差有固定方向（凸向下時偏低、凸向上時偏高），故不能一概而論。（評分要點：須寫出加權 2 的中間項；只寫公式未代數值扣 2 分） |
| 6 | 設隨機變數 X 服從二項分佈 B(20, 0.3)。 (a) 求 P(X ＝ 6)，答案準確至 4 位小數。 (b) 求 P(X ≥ 2)，並寫出 E(X) 及 Var(X)。 |
答案：(a) P(X ＝ 6) ＝ C(20,6)(0.3)⁶(0.7)¹⁴ ＝ 38760 × 0.000729 × 0.0067822 ≈ 0.1916。(b) P(X ≥ 2) ＝ 1 − P(X ＝ 0) − P(X ＝ 1) ＝ 1 − 0.0007979 − 0.0068393 ≈ 0.9924；E(X) ＝ np ＝ 20 × 0.3 ＝ 6，Var(X) ＝ np(1 − p) ＝ 6 × 0.7 ＝ 4.2。（評分要點：須寫出二項分佈公式；用 1 − P(X≤1) 時須列兩項） |
| 7 | 設某十字路口的車輛到達數目服從泊松分佈，平均每 30 秒有 4 輛車到達，記 X 為 30 秒內的到達數目。 (a) 求 P(X ＝ 3)，答案準確至 4 位小數。 (b) 求 P(X ≤ 1)，並求 15 秒內沒有車輛到達的概率。 |
答案：(a) X ~ Po(4)，P(X ＝ 3) ＝ e⁻⁴ × 4³ ÷ 3! ＝ 0.0183156 × 64 ÷ 6 ≈ 0.1954。(b) P(X ≤ 1) ＝ e⁻⁴(1 ＋ 4) ≈ 0.0916；15 秒內平均 2 輛，故 P(無車) ＝ e⁻² ＝ 0.1353。（評分要點：泊松公式須寫出 λ；15 秒一段須先把 λ 換成 2，直接沿用 4 扣 3 分） |
| 8 | 設某考試成績 X 服從正態分佈，平均值 50 分、標準差 10 分。 (a) 求 P(X ＞ 62) 及 P(45 ＜ X ＜ 65)，各準確至 4 位小數。 (b) 若只有最高 10% 考生獲甲級，求甲級的最低分數 k（準確至 1 位小數），並解釋所用的標準分。 |
答案：(a) 標準化 z ＝ (x − 50)/10；P(X ＞ 62) ＝ P(Z ＞ 1.2) ≈ 0.1151；P(45 ＜ X ＜ 65) ＝ P(−0.5 ＜ Z ＜ 1.5) ≈ 0.6247。(b) 需 P(Z ＜ z₀) ＝ 0.9，查表 z₀ ≈ 1.2816，故 k ＝ 50 ＋ 1.2816 × 10 ＝ 62.8 分。（評分要點：須寫出標準化步驟；直接用原值查表不給分） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
