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HKDSE 數學延伸部分單元二（M2）模擬卷｜8 題・100 分・2 小時 30 分
練習卷 · HKDSE 數學延伸部分單元二（M2）
HKDSE 數學延伸部分單元二（M2）模擬卷：8 題、100 分、2 小時 30 分，覆蓋數學歸納法、二項式定理、三角恆等式、極限與導數、積分技巧、矩陣與逆矩陣、向量點積與叉積、行列式與 Cramer 法則，附完整步驟與評分要點，數值全部由 Python 核算，題目原創。
卷面資料 年級：中六（DSE） ｜ 科目：數學（延伸單元二） ｜ 時限：150 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：8
甲部：短題（50 分）
全卷 100 分，考試時間 2 小時 30 分。須列出完整步驟，答案須附正確單位；除特別指明外，數值答案須準確至 3 位有效數字。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | （數學歸納法）(a) 用數學歸納法證明：對所有正整數 n，1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6。（6 分）(b) 由此求 1² + 2² + … + 10² 的值。（3 分）(c) 由此求 11² + 12² + … + 20² 的值。（3 分） | 答案：(a) 設 P(n) 為該命題。當 n = 1 時，左式 = 1² = 1，右式 = 1×2×3 ÷ 6 = 1，P(1) 成立。假設 P(k) 成立，即 1² + … + k² = k(k + 1)(2k + 1) ÷ 6，則 n = k + 1 時左式 = k(k + 1)(2k + 1) ÷ 6 + (k + 1)² = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)] ÷ 6 = (k + 1)(2k² + 7k + 6) ÷ 6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) ÷ 6，即 P(k + 1) 成立。由歸納法原理，P(n) 對所有正整數 n 成立。〔6 分〕(b) 代入 n = 10：385。〔3 分〕(c) 11² + 12² + … + 20² = 2870 − 385 = 2485。〔3 分〕 |
| 2 | （二項式定理）(a) 求 (2 + x)⁸ 的展開式中 x³ 的係數。（4 分）(b) 求 (1 + 3x)⁶ 的展開式中 x² 的係數。（4 分）(c) 求 (2 + x)⁸ 的展開式中所有係數之和。（4 分） | 答案：(a) 通項為 C(8, r)·2^(8−r)·x^r，取 r = 3 得係數 C(8, 3)·2⁵ = 56 × 32 = 1792。〔4 分〕(b) 通項為 C(6, r)·(3x)^r，取 r = 2 得係數 C(6, 2)·3² = 15 × 9 = 135。〔4 分〕(c) 令 x = 1，係數之和 = (2 + 1)⁸ = 3⁸ = 6561。〔4 分〕 |
| 3 | （三角學）A 及 B 均為銳角，且 sin A = 3/5、cos B = 5/13。(a) 求 sin(A + B) 的值。（4 分）(b) 求 cos 2A 的值。（4 分）(c) 求 tan(A − B) 的值。（4 分） | 答案：(a) 因 A 為銳角，cos A = 4/5；因 B 為銳角，sin B = 12/13。sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B = (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65。〔4 分〕(b) cos 2A = 1 − 2sin²A = 1 − 2(9/25) = 7/25。〔4 分〕(c) tan A = 3/4、tan B = 12/5，故 tan(A − B) = (tan A − tan B) ÷ (1 + tan A tan B) = (−33/20) ÷ (56/20) = −33/56。〔4 分〕 |
| 4 | （極限與導數）(a) 求 lim(x→0) sin 3x ÷ (2x)。（3 分）(b) 求 lim(x→0) (1 − cos x) ÷ x²。（3 分）(c) 設 y = x³ − 3x² + 4x − 5，求 dy/dx，並求曲線在 x = 2 處的切線方程。（4 分）(d) 求 d/dx [x² sin x]。（4 分） | 答案：(a) sin 3x ÷ (2x) = (3/2)·(sin 3x ÷ 3x)，當 x→0 時 sin 3x ÷ 3x → 1，故極限為 3/2。〔3 分〕(b) 1 − cos x = 2sin²(x/2)，故 (1 − cos x) ÷ x² = 2sin²(x/2) ÷ x² = (1/2)·[sin(x/2) ÷ (x/2)]² → 1/2。〔3 分〕(c) dy/dx = 3x² − 6x + 4；在 x = 2 時 dy/dx = 4，y = -1，切線為 y = 4x -9。〔4 分〕(d) 由乘積法則，d/dx [x² sin x] = 2x sin x + x² cos x。〔4 分〕 |
乙部：長題（50 分）
全卷 100 分，考試時間 2 小時 30 分。須列出完整步驟，答案須附正確單位；除特別指明外，數值答案須準確至 3 位有效數字。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | （積分）(a) 求 ∫₀¹ x(x² + 1)³ dx。（6 分）(b) 求 ∫ x sin x dx。（6 分） | 答案：(a) 令 u = x² + 1，則 du = 2x dx；當 x = 0 時 u = 1，當 x = 1 時 u = 2。∫₀¹ x(x² + 1)³ dx = (1/2)∫₁² u³ du = (1/2)[u⁴/4]₁² = (1/8)(16 − 1) = 15/8。〔6 分〕(b) 用分部積分，取 u = x、dv = sin x dx，則 du = dx、v = −cos x，∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C。〔6 分〕 |
| 6 | （矩陣）設 A = [[2, 1], [3, 4]]。(a) 求 det A。（2 分）(b) 求 A⁻¹。（4 分）(c) 用 (b) 的結果解方程組 2x + y = 7、3x + 4y = 18。（6 分） | 答案：(a) det A = (2)(4) − (1)(3) = 5。〔2 分〕(b) A⁻¹ = (1/5)·[[4, −1], [−3, 2]]。〔4 分〕(c) 方程組可寫成 A·[x, y]ᵀ = [7, 18]ᵀ，故 [x, y]ᵀ = A⁻¹·[7, 18]ᵀ；x = (4×7 − 1×18) ÷ 5 = 10/5 = 2，y = (−3×7 + 2×18) ÷ 5 = 15/5 = 3。〔6 分〕 |
| 7 | （向量）設 a = (1, 2, −1)、b = (3, −1, 2)。(a) 求 a·b。（3 分）(b) 求 a × b。（5 分）(c) 求 a 與 b 之間的夾角 θ（準確至 0.1°）。（5 分） | 答案：(a) a·b = (1)(3) + (2)(−1) + (−1)(2) = 3 − 2 − 2 = −1。〔3 分〕(b) a × b = ((2)(2) − (−1)(−1), (−1)(3) − (1)(2), (1)(−1) − (2)(3)) = (4 − 1, −3 − 2, −1 − 6) = (3, -5, -7)。〔5 分〕(c) |a| = √6、|b| = √14，cos θ = a·b ÷ (|a||b|) = −1 ÷ √84 ≈ −0.1091，故 θ ≈ 96.3°。〔5 分〕 |
| 8 | （行列式與方程組）考慮方程組 x + 2y + 3z = 14、2x − y + z = 3、3x + y − 2z = −1。(a) 求係數矩陣的行列式 D。（5 分）(b) 用 Cramer 法則求 x、y、z。（8 分） | 答案：(a) D = 1[(−1)(−2) − (1)(1)] − 2[(2)(−2) − (1)(3)] + 3[(2)(1) − (−1)(3)] = 1(1) − 2(−7) + 3(5) = 1 + 14 + 15 = 30。〔5 分〕(b) Dx = 30、Dy = 60、Dz = 90，故 x = 30/30 = 1、y = 60/30 = 2、z = 90/30 = 3。（各 2 分，共 8 分要有步驟） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
