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IB 數學 AA SL Paper 1 操卷模擬卷｜無計算機 10 題 100 分
練習卷 · IB 數學 AA SL
IB 數學 AA SL Paper 1 操卷模擬卷：指數與對數方程、複合函數與反函數、配方法與二次方程、等比數列與無限項之和、二項式定理係數、餘弦定理與三角形面積、微分求駐點與切線、定積分與曲線間面積、向量點積與夾角、條件機率與標準差，共 10 題 100 分 90 分鐘，全程不許用計算機，附完整答案與評分要點。
卷面資料 年級：中五至中六（S5-S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：90 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：10
甲部：指數、對數與函數（第 1–3 題，30 分）
全部題目必答。不許使用計算機。答案須寫出完整步驟，只寫答案不給分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 解方程 3^(2x−1) = 27^(x−2)。（4 分）(b) 不用計算機求 log₂48 − log₂3 的值。（3 分）(c) 解方程 log₅x + log₅(x−4) = 1。（3 分） | (a) 27 = 3³，故 3^(2x−1) = 3^(3x−6)；比較指數得 2x−1 = 3x−6，所以 x = 5。(b) log₂48 − log₂3 = log₂(48 ÷ 3) = log₂16 = 4。(c) 合併對數得 log₅[x(x−4)] = 1，即 x²−4x = 5，x²−4x−5 = 0，(x−5)(x+1) = 0，x = 5 或 x = −1；真數須為正，x = −1 不合，故 x = 5。 |
| 2 | 設 f(x) = 2x + 3，g(x) = x² − 1。(a) 求 g(f(x))，並化簡。（3 分）(b) 求 f⁻¹(x)。（3 分）(c) 解方程 g(f(x)) = 24。（4 分） | (a) g(f(x)) = (2x+3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8。(b) 設 y = 2x + 3，則 x = (y − 3) ÷ 2，故 f⁻¹(x) = (x − 3) ÷ 2。(c) 4x² + 12x + 8 = 24 → 4x² + 12x − 16 = 0 → x² + 3x − 4 = 0 → (x−1)(x+4) = 0，得 x = 1 或 x = -4（兩者均驗算成立）。 |
| 3 | 曲線 y = 2x² − 12x + 7。(a) 以配方法寫成 y = a(x − h)² + k 的形式。（3 分）(b) 求頂點坐標及函數的最小值。（3 分）(c) 解 2x² − 12x + 7 = 0，答案以根式表示並取三位小數。（4 分） | (a) y = 2(x² − 6x) + 7 = 2[(x−3)² − 9] + 7 = 2(x−3)² − 11。(b) 頂點 (3, -11)，因 a = 2 > 0，最小值為 -11。(c) 2(x−3)² = 11 → (x−3)² = 5.5 → x = 3 ± √22 ÷ 2，即 x ≈ 5.345 或 x ≈ 0.655（判別式 144 − 56 = 88 > 0，兩實根）。 |
乙部：數列、二項式與三角（第 4–6 題，30 分）
全部題目必答。不許使用計算機。答案須寫出完整步驟，只寫答案不給分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 4 | 等比數列首項為 3，公比為 2。(a) 求第 7 項。（3 分）(b) 求首 8 項之和。（4 分）(c) 另一等比數列首項 8、公比 1÷3，求其無限項之和。（3 分） | (a) T(7) = 3 × 2^6 = 3 × 64 = 192。(b) S(8) = 3 × (2^8 − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 255 = 765。(c) 因 |r| < 1，S∞ = 8 ÷ (1 − 1÷3) = 8 ÷ (2÷3) = 11。 |
| 5 | 設 (1 − 2x)^6 按 x 的升冪展開。(a) 求常數項。（2 分）(b) 求 x² 的係數。（4 分）(c) 求 x³ 的係數。（4 分） | (a) 常數項 = C(6,0) × 1^6 = 1。(b) x² 項 = C(6,2) × (−2x)² = 15 × 4x²，係數 = 60。(c) x³ 項 = C(6,3) × (−2x)³ = 20 × (−8)x³，係數 = -160。 |
| 6 | 三角形 ABC 中，a = 7 cm，b = 9 cm，角 C = 60°。(a) 求 c 的準確值及三位小數值。（4 分）(b) 求三角形面積（取三位有效數字）。（3 分）(c) 求角 A（取一位小數）。（3 分） | (a) c² = 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos60° = 49 + 81 − 63 = 67，故 c = √67 ≈ 8.185 cm。(b) 面積 = ½ × 7 × 9 × sin60° = 31.5 × (√3 ÷ 2) ≈ 27.3 cm²。(c) 正弦定理：sinA ÷ 7 = sin60° ÷ c，sinA = 7 × 0.8660 ÷ 8.185 ≈ 0.7406，故 A ≈ 47.8°（角 B ≈ 72.2°）。 |
丙部：微分與積分（第 7–8 題，20 分）
全部題目必答。不許使用計算機。答案須寫出完整步驟，只寫答案不給分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 7 | 設 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2。(a) 求 f′(x)，並求所有駐點的 x 值及對應的 f(x)。（4 分）(b) 求曲線在 x = 2 處的切線方程。（3 分）(c) 用二階導數判別各駐點的性質。（3 分） | (a) f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x−1)(x−3)；f′(x) = 0 得 x = 1 或 x = 3。f(1) = 6，f(3) = 2。(b) f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3，f(2) = 4，切線：y − 4 = −3(x − 2)，即 y = −3x + 10。(c) f″(x) = 6x − 12；f″(1) = −6 < 0，故 (1, 6) 為極大點；f″(3) = 6 > 0，故 (3, 2) 為極小點。 |
| 8 | (a) 求 ∫₁⁴ (3x² − 2x + 1) dx 的值。（4 分）(b) 求曲線 y = x² 與直線 y = 2x 所圍區域的面積。（3 分）(c) 求 ∫₀² (4 − x²) dx 的值，並以分數表示。（3 分） | (a) 原函數 x³ − x² + x；代入上限 4 得 64 − 16 + 4 = 52，代入下限 1 得 1 − 1 + 1 = 1，故值 = 52 − 1 = 51。(b) 交點為 x = 0 與 x = 2，面積 = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³÷3]₀² = 4 − 8÷3 = 4÷3 ≈ 1.333。(c) ∫₀² (4 − x²) dx = [4x − x³÷3]₀² = 8 − 8÷3 = 16÷3 ≈ 5.333。 |
丁部：向量、機率與統計（第 9–10 題，20 分）
全部題目必答。不許使用計算機。答案須寫出完整步驟，只寫答案不給分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 已知向量 a = (2, −1)，b = (−1, 3)。(a) 求 a·b、|a| 與 |b|。（4 分）(b) 求 a 與 b 的夾角（取一位小數）。（3 分）(c) 求 2a − 3b 及其大小（取三位有效數字）。（3 分） | (a) a·b = 2 × (−1) + (−1) × 3 = -5；|a| = √5 ≈ 2.236；|b| = √10 ≈ 3.162。(b) cosθ = −5 ÷ (√5 × √10) = −5 ÷ 7.0711 ≈ −0.7071，故 θ ≈ 135.0°。(c) 2a − 3b = (7, -11)，大小 = √170 ≈ 13.04。 |
| 10 | 袋中有 5 個紅球、3 個藍球、2 個綠球，共 10 個球。(a) 隨機抽出 2 球（不放回），求兩球皆為紅球的機率（以分數表示）。（4 分）(b) 求至少有一球為紅球的機率（以分數表示）。（3 分）(c) 數據 4, 7, 7, 9, 12, 15：求平均數、中位數及標準差（取三位有效數字）。（3 分） | (a) P = (5÷10) × (4÷9) = 20÷90 = 2÷9 ≈ 0.222。(b) 對立事件為兩球皆非紅：同樣為 2÷9，故所求 = 1 − 2÷9 = 7÷9 ≈ 0.778。(c) 平均數 = 54 ÷ 6 = 9；中位數 = (7 + 9) ÷ 2 = 8；方差 = 78 ÷ 6 = 13，標準差 = √13 ≈ 3.61。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
