中文（繁體）
中文（簡體）
English
IB 數學：分析與方法（AI）SL Paper 2 模擬卷（10 題・80 分・1 小時 30 分）
練習卷 · IB 數學 AI SL
IB 數學：分析與方法（AI）SL Paper 2 模擬卷：10 題、80 分、限時 1 小時 30 分，可使用計算機及公式表，涵蓋描述統計與正態分佈、複利與攤還貸款、線性規劃、指數增長與半衰期、餘弦定理與三角面積、無放回概率與期望值、微分與極值、二次函數、四分位距與離群值、立體圖形與相似比，每題附完整步驟、答案及評分要點。
卷面資料 年級：IB DP 一年級（Year 12） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：90 分鐘 ｜ 總分：80 分 ｜ 題數：10
甲部（第 1 至 5 題・40 分）
全部題目均須作答。本卷可使用計算機及公式表。計算題須展示步驟，數值答案取題目指定有效數字，並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 某校 40 名學生在數學測驗的平均分為 62 分，標準差為 10 分，成績近似正態分佈。 (a) 求 75 分的 z 分數。 (b) 估計成績高於 75 分的學生百分比，並求人數。 (c) 求該分佈中間 95% 成績的範圍。 |
(a) z ＝ (75 − 62) ÷ 10 ＝ 1.30。 (b) P(Z 大於 1.30) ＝ 1 − 0.9032 ＝ 0.0968 ≈ 9.7%；人數 ≈ 40 × 0.0968 ＝ 3.9 ≈ 4 人。 (c) 62 ± 1.96 × 10 ＝ 42.4 至 81.6 分。 評分要點：(a) 2 分、(b) 3 分（百分比 2 分、人數 1 分）、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 2 | 某人存入 50 000 元，年利率 4.2%，每季複利一次，存期 3 年。 (a) 求 3 年後的總金額及利息。 (b) 另有一筆 200 000 元貸款，年利率 6%，按月計息，分 5 年以等額月供還清，求每月供款。 (c) 求 (b) 中整筆貸款的總利息支出。 |
(a) 季利率 ＝ 4.2% ÷ 4 ＝ 1.05%，期數 ＝ 3 × 4 ＝ 12；總額 ＝ 50 000 × (1 + 0.0105)^12 ＝ 56,676.86 元，利息 ＝ 6,676.86 元。 (b) 月利率 ＝ 0.5%，期數 ＝ 60；月供 ＝ 200 000 × 0.005 ÷ (1 − 1.005^−60) ＝ 3,866.56 元。 (c) 總還款 ＝ 3,866.56 × 60 ＝ 231,993.62 元，總利息 ＝ 31,993.62 元。 評分要點：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 3 | 某工場每日生產 x 件甲產品及 y 件乙產品，限制如下： x + y ≤ 60；2x + 3y ≤ 150；x ≤ 40；x ≥ 0，y ≥ 0。 每件甲產品利潤 25 元，每件乙產品利潤 40 元。 (a) 寫出可行域的頂點。 (b) 求最大利潤及對應產量。 (c) 若乙產品利潤升至 60 元，最大利潤會否改變？以計算說明。 |
(a) 頂點為 (0, 0)、(0, 50)、(30, 30)、(40, 20)、(40, 0)。 (b) 逐點代入 P ＝ 25x + 40y：(0,0) 得 0；(0,50) 得 2 000；(30,30) 得 1 950；(40,20) 得 1 800；(40,0) 得 1 000。最大利潤 ＝ 2000 元，在 x ＝ 0、y ＝ 50 時達到。 (c) 若每件乙利潤 60 元：(0,50) 得 3 000；(30,30) 得 750 ＋ 1 800 ＝ 2 550；(40,20) 得 1 000 ＋ 1 200 ＝ 2 200。最大仍為 3 000 元，產量不變但利潤增加 1 000 元。 評分要點：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 4 | 某城市人口 1 500 人，每年增長 8%。 (a) 寫出人口 N 與年數 t 的模型，並求 10 年後人口。 (b) 求人口增至 3 000 人所需的年數（取一位小數）。 (c) 另一樣本質量 500 毫克，半衰期 12 日。求 30 日後餘下質量（取一位小數）。 |
(a) N ＝ 1 500 × 1.08^t；t ＝ 10 時 N ＝ 3,238.4 人。 (b) 1.08^t ＝ 2，t ＝ ln 2 ÷ ln 1.08 ＝ 9.006 ≈ 9.0 年。 (c) 30 日 ＝ 30 ÷ 12 ＝ 2.5 個半衰期，餘下 ＝ 500 × 0.5^2.5 ＝ 88.4 毫克。 評分要點：(a) 3 分、(b) 2 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 5 | 三角形 ABC 中，a ＝ 7 cm，b ＝ 9 cm，夾角 C ＝ 52°。 (a) 求 c 的長度（取三位小數）。 (b) 求三角形面積（取二位小數）。 (c) 求角 A 及角 B（取一位小數）。 |
(a) c² ＝ 7² ＋ 9² − 2 × 7 × 9 × cos 52° ＝ 52.427，c ＝ 7.241 cm。 (b) 面積 ＝ 0.5 × 7 × 9 × sin 52° ＝ 24.82 cm²。 (c) 正弦定理：sin A ＝ 7 sin 52° ÷ 7.241 ＝ 0.7618，A ＝ 49.6°；B ＝ 180° − 52° − 49.6° ＝ 78.4°。 評分要點：(a) 3 分、(b) 2 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
乙部（第 6 至 10 題・40 分）
全部題目均須作答。本卷可使用計算機及公式表。計算題須展示步驟，數值答案取題目指定有效數字，並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 6 | 袋中有 5 個紅球及 3 個藍球，隨機抽出兩個球，不放回。 (a) 求兩個都是紅球的概率。 (b) 求兩個球顏色不同的概率。 (c) 遊戲規則：兩個都是紅球贏 3 元，否則輸 1 元。求期望值，並求公平遊戲下應贏多少元。 |
(a) P(兩紅) ＝ (5/8) × (4/7) ＝ 20/56 ＝ 0.3571。 (b) P(不同色) ＝ (5/8)(3/7) ＋ (3/8)(5/7) ＝ 30/56 ＝ 0.5357。 (c) E ＝ 3 × 0.3571 − 1 × 0.6429 ＝ 0.429 元，對玩家有利；公平遊戲下贏款 w 滿足 w × 0.3571 ＝ 1 × 0.6429，w ＝ 7.2 元。 評分要點：(a) 2 分、(b) 3 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 7 | 設 f(x) ＝ x³ − 6x² + 9x + 2。 (a) 求 f′(x) 及駐點，並判斷各駐點的性質。 (b) 求 x ＝ 0 處的切線方程。 (c) 求曲線與 x 軸在 x ＝ 0 至 x ＝ 3 之間所圍的面積。 |
(a) f′(x) ＝ 3x² − 12x ＋ 9 ＝ 3(x − 1)(x − 3)，駐點 x ＝ 1 及 x ＝ 3。 f″(x) ＝ 6x − 12；f″(1) ＝ −6 少於 0，故 (1, 6) 為極大點；f″(3) ＝ 6 大於 0，故 (3, 2) 為極小點。 (b) f(0) ＝ 2，f′(0) ＝ 9，切線為 y ＝ 9x ＋ 2。 (c) 原函數 x⁴/4 − 2x³ ＋ 4.5x² ＋ 2x；代入 3 得 12.75，代入 0 得 0，面積 ＝ 12.75 平方單位（曲線全程在 x 軸上方）。 評分要點：(a) 4 分、(b) 2 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 8 | 設二次函數 y ＝ −2x² ＋ 12x − 10。 (a) 求頂點及對稱軸。 (b) 求與 x 軸的交點及判別式的值。 (c) 將函數寫成頂點式，並描述圖像由 y ＝ −2x² 經過哪些變換得到。 |
(a) x ＝ −12 ÷ (2 × −2) ＝ 3，y ＝ 8，頂點 (3, 8)，對稱軸 x ＝ 3。 (b) 判別式 ＝ 12² − 4(−2)(−10) ＝ 64；交點 x ＝ 1 及 x ＝ 5，即 (1, 0) 與 (5, 0)。 (c) y ＝ −2(x − 3)² ＋ 8：由 y ＝ −2x² 向右平移 3 單位、向上平移 8 單位，並且開口向下（不變）。 評分要點：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 9 | 某組數據：12、15、15、18、20、22、25、28、30、42。 (a) 求中位數、下四分位數、上四分位數及四分位距。 (b) 以 1.5 × 四分位距 檢驗 42 是否離群值。 (c) 求平均數及樣本標準差（取二位小數），並說明平均數與中位數的差異。 |
(a) 中位數 ＝ (20 ＋ 22) ÷ 2 ＝ 21；下四分位數 ＝ 15；上四分位數 ＝ 28；四分位距 ＝ 13。 (b) 上界 ＝ 28 ＋ 1.5 × 13 ＝ 47.5；42 少於 47.5，故不是離群值。 (c) 平均數 ＝ 22.7，樣本標準差 ＝ 8.96；平均數高於中位數 21，因為 42 這個較大的值把平均數拉高，中位數則不受極端值影響。 評分要點：(a) 3 分、(b) 2 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 10 | 一個直圓錐的半徑 5 cm、高 12 cm。 (a) 求斜高及體積（取二位小數）。 (b) 求總表面積（取二位小數）。 (c) 另有與此圓錐相似的小圓錐，長度比例為 1 : 3。求其體積及總表面積。 |
(a) 斜高 ＝ 5² ＋ 12² 的平方根 ＝ 13 cm；體積 ＝ π × 25 × 12 ÷ 3 ＝ 314.16 cm³。 (b) 曲面面積 ＝ π × 5 × 13 ＝ 204.20，底面積 ＝ π × 25 ＝ 78.54，總表面積 ＝ 282.74 cm²。 (c) 長度比 1 : 3，體積比 1 : 27 → 11.64 cm³；表面積比 1 : 9 → 31.42 cm²。 評分要點：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
