IGCSE 附加數學 0606 Paper 2 操卷模擬卷

練習卷 · IGCSE 附加數學

IGCSE 附加數學 0606 Paper 2 操卷模擬卷：弧度制與扇形面積、排列組合、等差與等比數列、指數與對數方程、矩陣與逆矩陣、微分求駐點與切線、定積分與曲線間面積、三角方程與 R 形式，共 10 題 100 分 2 小時，附完整答案與評分要點，適合限時操練。

卷面資料　年級：中四至中五（S4-S5）　｜　科目：數學　｜　時限：120 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：10

甲部：弧度制、排列組合與等差數列（第 1 至 3 題・30 分）

全部題目必答。答案須寫出計算步驟，只寫答案不給分。

#	題目	答案與評分要點
1	(a) 一個扇形的半徑為 9 cm，圓心角為 2.4 弧度。求弧長與扇形面積。（4 分）(b) 求該扇形的周界。（2 分）(c) 另一扇形的半徑為 12 cm，圓心角為 0.9 弧度，求其面積。（4 分）	(a) 弧長 = rθ = 9 × 2.4 = 21.6 cm；面積 = ½r²θ = ½ × 81 × 2.4 = 97.2 cm²。(b) 周界 = 2r + 弧長 = 18 + 21.6 = 39.6 cm。(c) 面積 = ½ × 12² × 0.9 = ½ × 144 × 0.9 = 64.8 cm²。
2	(a) 由 4 名男生與 3 名女生中選 3 人組成委員會，求不同的組合數目。（3 分）(b) 求上述組合中至少有一名女生的數目。（3 分）(c) 把 5 本不同的書排在書架上，其中指定的 2 本必須相鄰，求排法數目。（4 分）	(a) C(7, 3) = 35 種。(b) 全部組合減去全為男生的組合：C(7, 3) − C(4, 3) = 35 − 4 = 31 種。(c) 把該 2 本書視為一個單位，與其餘 3 本共 4 個單位排列，再計該 2 本的內部次序：4! × 2 = 48 種。
3	(a) 等差數列的首項為 7，公差為 −3，求第 20 項。（3 分）(b) 求該數列首 20 項之和。（4 分）(c) 求第幾項首次等於 −20。（3 分）	(a) T(20) = 7 + 19 × (−3) = -50。(b) S(20) = (20 ÷ 2) × (7 + (−50)) = 10 × (−43) = -430。(c) 設 7 − 3(n − 1) = −20，則 3(n − 1) = 27，n = 10。

全部題目必答。答案須寫出計算步驟，只寫答案不給分。

#	題目	答案與評分要點
4	(a) 等比數列的首項為 3，公比為 1.5，求第 6 項。（3 分）(b) 求該數列首 6 項之和。（4 分）(c) 另一等比數列首項為 5、公比為 0.8，求其無限項之和。（3 分）	(a) T(6) = 3 × 1.5⁵ = 3 × 7.59375 = 22.781。(b) S(6) = 3 × (1.5⁶ − 1) ÷ (1.5 − 1) = 3 × 10.390625 ÷ 0.5 = 62.344。(c) S(∞) = 5 ÷ (1 − 0.8) = 5 ÷ 0.2 = 25。
5	(a) 解 3^(2x) − 10(3^x) + 9 = 0。（4 分）(b) 解 4^(x + 1) = 8^(2x − 3)。（3 分）(c) 求 27^(2/3) × 16^(3/4) 的值。（3 分）	(a) 令 y = 3^x，得 y² − 10y + 9 = 0，(y − 1)(y − 9) = 0；y = 1 或 y = 9，故 x = 0 或 x = 2。(b) 兩邊化為 2 的冪：4^(x+1) = 2^(2x+2)，8^(2x−3) = 2^(6x−9)；2x + 2 = 6x − 9，4x = 11，x = 2.750。(c) 27^(2/3) = 9，16^(3/4) = 8，乘積 = 72。
6	(a) 解 log₁₀(x + 3) + log₁₀ x = 1。（4 分）(b) 解 log₂(3x − 1) = 4。（3 分）(c) 已知 log₃ 2 = 0.631，求 log₃ 8 與 log₃ 1.5 的值。（3 分）	(a) log₁₀[x(x + 3)] = 1，x² + 3x = 10，x² + 3x − 10 = 0，(x − 2)(x + 5) = 0；x 必須為正，故 x = 2（x = −5 不合）。(b) 3x − 1 = 2⁴ = 16，3x = 17，x = 5.667。(c) log₃ 8 = 3 log₃ 2 = 1.893；log₃ 1.5 = log₃ 3 − log₃ 2 = 1 − 0.631 = 0.369。

全部題目必答。答案須寫出計算步驟，只寫答案不給分。

#	題目	答案與評分要點
7	(a) 已知矩陣 M = [(3, 1), (2, 4)]，求 det M 及 M⁻¹。（4 分）(b) 用矩陣方法解聯立方程 3x + y = 7、2x + 4y = 14。（4 分）(c) 已知 N = [(1, 2), (0, 1)]，求 N³。（2 分）	(a) det M = 3 × 4 − 1 × 2 = 10；M⁻¹ = (1 ÷ 10) × [(4, −1), (−2, 3)]。(b) x = (4 × 7 − 1 × 14) ÷ 10 = 1.4，y = (−2 × 7 + 3 × 14) ÷ 10 = 2.8。(c) N² = [(1, 4), (0, 1)]，N³ = [(1, 6), (0, 1)]，即右上角元素為 6。
8	(a) 已知 y = x³ − 6x² + 9x + 2，求 dy/dx，並求全部駐點的坐標。（4 分）(b) 用二階導數判定各駐點的性質。（3 分）(c) 求曲線在 x = 0 處的切線斜率及切線方程。（3 分）	(a) dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)；駐點為 x = 1（y = 6）與 x = 3（y = 2）。(b) d²y/dx² = 6x − 12；x = 1 時為 −6（負，極大值）；x = 3 時為 6（正，極小值）。(c) 在 x = 0，dy/dx = 9，y = 2，切線方程為 y = 9x + 2。

全部題目必答。答案須寫出計算步驟，只寫答案不給分。

#	題目	答案與評分要點
9	(a) 求 ∫₁⁴ (3x² − 2x + 1) dx。（4 分）(b) 求曲線 y = x² 與直線 y = 4 所圍成區域的面積。（4 分）(c) 求 ∫ (2x + 1)³ dx。（2 分）	(a) 原函數為 x³ − x² + x；代入上下限：(64 − 16 + 4) − (1 − 1 + 1) = 52 − 1 = 51。(b) 交點為 x = −2 與 x = 2；面積 = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = 32/3 ≈ 10.667。(c) ∫ (2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴ ÷ 8 + C。
10	(a) 解 2 sin²x + sin x − 1 = 0，其中 0° ≤ x ≤ 360°。（5 分）(b) 把 3 sin θ + 4 cos θ 寫成 R sin(θ + α) 的形式，其中 R 為正數、α 介乎 0° 與 90°，並求該式的最大值。（5 分）	(a) 設 s = sin x，2s² + s − 1 = 0，(2s − 1)(s + 1) = 0；s = 0.5 或 s = −1。sin x = 0.5 給 x = 30° 或 150°；sin x = −1 給 x = 270°，故解為 30°、150°、270°。(b) R = √(3² + 4²) = 5，tan α = 4 ÷ 3，α ≈ 53.1°；3 sin θ + 4 cos θ = 5 sin(θ + 53.1°)，最大值為 5。

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