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IGCSE 數學 0580 Paper 4 練習卷（8 題・65 分・90 分鐘）
練習卷 · IGCSE 數學 0580 Paper 4 練習卷
IGCSE 數學 0580 Paper 4 練習卷：8 題原創題目、65 分、90 分鐘，涵蓋聯立方程與二次方程、因式分解、正弦與餘弦定理、統計量與四分位距、圓形定理、圓柱與圓錐的體積及曲面面積、百分率與複利、集合概率，每題附評分要點，所有數值由公式核算。
卷面資料 年級：IGCSE（Grade 9–10／Year 10–11） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：90 分鐘 ｜ 總分：65 分 ｜ 題數：8
甲部 代數、三角與統計（30 分）
第 1–4 題（代數、三角與統計，分項分數見題目）
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 已知聯立方程 2x + 3y = 19 與 4x – y = 17。 (a) 以消元法解該聯立方程。（3 分） (b) 由此求 6x + 2y 的值。（2 分） (c) 解二次方程 x² – 7x + 12 = 0。（2 分） |
(a) 由 4x – y = 17 得 y = 4x – 17（1 分）；代入 2x + 3(4x – 17) = 19，化簡得 14x = 70，x = 5（1 分）；y = 4(5) – 17 = 3（1 分） (b) 6x + 2y = 6(5) + 2(3) = 36（1 分代入，1 分答案） (c) (x – 3)(x – 4) = 0，x = 3 或 x = 4（1 分因式分解，1 分兩個根） |
| 2 | 化簡與因式分解題。 (a) 展開 (2x – 3)(x + 5)。（2 分） (b) 因式分解 6x² – 11x – 10。（2 分） (c) 化簡 (x² – 9) / (x² + x – 12)。（2 分） (d) 解方程 3 / (x – 1) = 2 / (x + 2)。（2 分） |
(a) 2x² + 10x – 3x – 15 = 2x² + 7x – 15（1 分展開，1 分化簡） (b) 6x² – 15x + 4x – 10 = (3x + 2)(2x – 5)（1 分分組，1 分答案） (c) (x – 3)(x + 3) / [(x + 4)(x – 3)] = (x + 3) / (x + 4)（1 分因式分解，1 分化簡；須注明 x ≠ 3、x ≠ -4） (d) 3(x + 2) = 2(x – 1)，3x + 6 = 2x – 2，x = -8（1 分交叉相乘，1 分答案） |
| 3 | 一把長 6.5 m 的梯子斜靠垂直牆壁，梯子與地面成 68°。 (a) 求梯子頂端距地面的高度，準確至 0.01 m。（2 分） (b) 求梯子底部與牆腳的距離，準確至 0.01 m。（2 分） 在三角形 ABC 中，AB = 9.6 cm，AC = 6.9 cm，∠BAC = 52°。 (c) 求 BC 的長度，準確至 0.01 cm。（2 分） (d) 以正弦定理求 ∠ABC，準確至 0.1°。（2 分） |
(a) 高度 = 6.5 × sin 68° = 6.03 m（1 分選用正弦，1 分答案） (b) 距離 = 6.5 × cos 68° = 2.43 m（1 分選用餘弦，1 分答案） (c) BC² = 9.6² + 6.9² – 2 × 9.6 × 6.9 × cos 52° = 58.21，BC = 7.63 cm（1 分餘弦定理，1 分答案） (d) sin B / 6.9 = sin 52° / 7.63，sin B = 0.713，∠ABC = 45.5°（1 分正弦定理，1 分答案） |
| 4 | 某班 15 名學生每天溫習時間（分鐘）如下：12、14、15、17、18、19、21、23、24、26、28、30、33、35、38。 (a) 求平均數，準確至 0.1 分鐘。（2 分） (b) 求中位數。（1 分） (c) 求四分位距。（3 分） (d) 比較平均數與中位數，判斷該分佈是否右偏，並說明理由。（1 分） |
(a) 平均數 = 353 / 15 = 23.5 分鐘（1 分總和，1 分答案） (b) 共 15 個數據，中位數為第 8 個 = 23 分鐘（1 分） (c) 下四分位數為第 (15 + 1) / 4 = 4 個 = 17，上四分位數為第 12 個 = 30，四分位距 = 30 – 17 = 13 分鐘（1 分位置，1 分兩值，1 分相減） (d) 平均數 23.5 大於中位數 23，較極端的偏大數據把平均數拉高，分佈屬右偏（1 分） |
乙部 幾何、度量、百分率與概率（35 分）
第 5–8 題（幾何、度量、百分率與概率，分項分數見題目）
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | A、B、C、D 為圓上四點，按此次序排列，∠ABC = 118°。 (a) 求 ∠ADC。（2 分） (b) O 為圓心，求 ∠AOC 的較小者。（2 分） AT 為圓於 A 的切線，T 與 D 位於弦 AC 的兩側，∠TAC = 62°。 (c) 說明 ∠TAC 與 ∠ADC 的關係，並指出所用定理。（2 分） (d) 求 ∠OAC。（3 分） |
(a) ABCD 為圓內接四邊形，對角互補：∠ADC = 180° – 118° = 62°（1 分定理，1 分答案） (b) 同弧 AC 的圓心角為圓周角的兩倍：∠AOC = 2 × 62° = 124°（1 分關係，1 分答案） (c) 由切線與弦的夾角定理（alternate segment theorem），∠TAC 等於另一弓形的圓周角，故 ∠TAC = ∠ADC = 62°（1 分定理名稱，1 分比較） (d) 半徑垂直切線，∠OAT = 90°（1 分）；∠OAC = 90° – 62° = 28°（1 分相減，1 分答案；並可驗算 2 × 28° + 124° = 180°） |
| 6 | 一個實心物體由半徑 7 cm、高 20 cm 的圓柱，在頂部接上半徑相同、斜高 25 cm 的圓錐組成。 (a) 求圓錐的高。（2 分） (b) 求該物體的總體積，以 π 表示。（3 分） (c) 求該物體的曲面面積（不包括底面），以 π 表示。（2 分） (d) 若把整個物體熔化並重鑄成半徑 7 cm 的實心球體，最多可鑄成多少個完整球體？（2 分） |
(a) 高 = √(25² – 7²) = √576 = 24 cm（1 分畢氏定理，1 分答案） (b) 圓柱體積 = π × 7² × 20 = 980π；圓錐體積 = ⅓ × π × 7² × 24 = 392π；總體積 = 1372π cm³（約 4310 cm³）（1 分圓柱，1 分圓錐，1 分相加） (c) 曲面面積 = 2π × 7 × 20 + π × 7 × 25 = 455π cm²（1 分兩部分，1 分答案） (d) 球體體積 = (4/3)π × 7³ = 457π；1372π ÷ 457.33π = 3，可鑄成 3 個完整球體（1 分球體體積，1 分相除） |
| 7 | (a) 一件貨品標價 $480，先減價 25%，再在減價後的價格上加價 15%，求最終售價。（2 分） (b) 求最終售價相對原標價的百分變化。（2 分） (c) $5000 以年利率 3.2% 複利存入銀行，每年計息一次，求 4 年後的本利和，準確至整數元。（2 分） (d) 最少需要多少年，本利和才會首次超過 $6,000？（2 分） |
(a) 480 × (1 – 25%) = 360；360 × (1 + 15%) = 413 元（1 分減價，1 分加價） (b) (413 – 480) / 480 × 100% = -13.75%（1 分代入，1 分答案；負號代表淨減價） (c) 本利和 = 5000 × 1.032⁴ = 5671.38 ≈ $5671（1 分公式，1 分答案） (d) 第 5 年為 $5853，未超過 6,000；第 6 年為 $6040，首次超過，故需 6 年（1 分逐年比較，1 分答案） |
| 8 | 某校 40 名學生中，25 人選修數學，18 人選修物理，7 人兩科均選修。 (a) 求只選修數學、只選修物理及兩科均不選修的人數。（3 分） (b) 隨機選出一名學生，求他只選修一科的機率。（2 分） (c) 已知選出的學生選修數學，求他同時選修物理的機率。（2 分） (d) 解聯立方程 y = 2x – 1 與 y = x² – 4，求交點的 x 座標。（2 分） |
(a) 只選數學 = 25 – 7 = 18；只選物理 = 18 – 7 = 11；至少選一科 = 36，兩科均不選 = 40 – 36 = 4（每項 1 分） (b) 只選一科共 29 人，機率 = 29 / 40 = 0.725（1 分分子，1 分答案） (c) 選修數學者共 25 人，其中 7 人同時選物理，機率 = 7 / 25 = 0.28（1 分條件概率，1 分答案） (d) x² – 4 = 2x – 1，x² – 2x – 3 = 0，(x – 3)(x + 1) = 0，x = 3 或 x = -1（1 分列方程，1 分兩個解） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
