中三數學練習卷：二次方程、函數與圖像、圓的性質、三角比、概率與統計（100 分）

練習卷 · 數學 · 中三 · 練習卷

中三數學練習卷，共六部分二十四題：二次方程的因式分解與判別式、二次函數圖像的頂點與對稱軸、圓的性質與切線、三角比與仰角應用、概率與組合計數、統計的集中趨勢。全部數值由題目資料推算，附完整答案與評分要點，適合中三校內試與階段評估。

卷面資料　年級：中三　｜　科目：數學　｜　時限：60 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：24

甲部：二次方程（18 分）

以下四小題獨立作答，每題須列出計算步驟，答案須化至最簡。

#	題目	答案與評分要點
1	(a) 因式分解解方程 2x² − 7x + 3 = 0。	答案：2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 0.5 或 x = 3。（評分要點：正確因式分解 2 分、兩個根各 1 分）
2	(b) 若方程 3x² + kx + 12 = 0 有重根，求 k 的兩個可能值。	答案：重根條件為 k² = 4 × 3 × 12 = 144，故 k = 12 或 k = −12。（評分要點：列出重根條件 2 分、算出 k² 1 分、兩個值 1 分）
3	(c) 求方程 2x² − 7x + 3 = 0 兩根之和與兩根之積。	答案：兩根之和 = 7 ÷ 2 = 3.5，兩根之積 = 3 ÷ 2 = 1.5。（評分要點：和 2 分、積 2 分）
4	(d) 用配方法解 x² + 4x − 5 = 0。	答案：x² + 4x − 5 = (x + 2)² − 9 = 0，故 (x + 2)² = 9，x = 1 或 x = −5。（評分要點：配方 3 分、開方 2 分、兩個根 1 分）

已知二次函數 y = x² − 6x + 5。

#	題目	答案與評分要點
5	(a) 求圖像的頂點座標。	答案：y = (x − 3)² − 4，頂點為 (3, −4)。（評分要點：配方 2 分、頂點 2 分）
6	(b) 求圖像與兩軸的所有交點。	答案：與 y 軸交於 (0, 5)；與 x 軸交於 (1, 0) 及 (5, 0)。（評分要點：y 軸交點 1 分、兩個 x 軸交點各 1 分、因式分解 1 分）
7	(c) 寫出對稱軸方程及函數的最小值。	答案：對稱軸為 x = 3，最小值為 −4。（評分要點：對稱軸 2 分、最小值 2 分）
8	(d) 說明 y = 2(x − 1)² + 3 的圖像由 y = 2x² 的圖像經何種變換而得，並寫出其頂點。	答案：把 y = 2x² 的圖像向右平移 1 單位、向上平移 3 單位，頂點為 (1, 3)。（評分要點：向右 1 分、向上 1 分、頂點 2 分）

下列各題的圓都以 O 為圓心，答案須附單位。

#	題目	答案與評分要點
9	(a) 一條弧所對的圓心角為 128°，求該弧所對的圓周角。	答案：128° ÷ 2 = 64°（圓心角為圓周角的兩倍）。（評分要點：關係正確 2 分、數值 2 分）
10	(b) 圓內接四邊形 ABCD 中，∠A = (3x + 10)°、∠C = (2x + 20)°。求 x 及 ∠A。	答案：(3x + 10) + (2x + 20) = 180，5x = 150，x = 30，∠A = 100°。（評分要點：對角和為 180 2 分、x 1 分、∠A 1 分）
11	(c) 半徑 9 cm，由外部點 P 引切線，切線長 12 cm。求 O 與 P 的距離。	答案：切線垂直半徑，OP² = 9² + 12² = 225，OP = 15 cm。（評分要點：直角關係 2 分、畢氏定理 2 分、答案 1 分）
12	(d) 半徑 6 cm、圓心角 120° 的扇形，求弧長及面積（以 π 表示，並取至一位小數）。	答案：弧長 = 4π ≈ 12.6 cm；面積 = 12π ≈ 37.7 cm²。（評分要點：弧長 2 分、面積 3 分）

計算題取至三位有效數字。

#	題目	答案與評分要點
13	(a) 直角三角形中，角 θ 的對邊為 8、斜邊為 17。求 sin θ、cos θ 及 tan θ。	答案：鄰邊 = 15；sin θ = 8 ÷ 17 ≈ 0.471，cos θ = 15 ÷ 17 ≈ 0.882，tan θ = 8 ÷ 15 ≈ 0.533。（評分要點：鄰邊 1 分、三個比值各 1 分）
14	(b) 一人高 1.6 m，站在距建築物 30 m 處，測得樓頂仰角 40°。求樓高。	答案：1.6 + 30 × tan 40° ≈ 26.8 m。（評分要點：tan 關係 2 分、30 tan 40° 2 分、加眼高 1 分）
15	(c) 梯長 5 m，梯腳距牆 3 m。求梯頂離地高度及梯與地面所成角。	答案：高度 = 4 m；角度 = cos⁻¹(3 ÷ 5) ≈ 53.1°。（評分要點：高度 2 分、角度 2 分）
16	(d) 三角形 ABC 中，∠B = 90°，AB = 7 cm，∠A = 32°。求 BC。	答案：BC = 7 × tan 32° ≈ 4.4 cm。（評分要點：正確選用 tan 3 分、數值 2 分）

袋中有 4 個紅球、6 個藍球及 5 個綠球，除顏色外完全相同。

七名學生的測驗分數為：12、15、15、18、20、22、25。

#	題目	答案與評分要點
21	(a) 求平均數（取至兩位小數）。	答案：總和 127，平均數 = 127 ÷ 7 ≈ 18.14。（評分要點：總和 2 分、除以 7 共 2 分）
22	(b) 求中位數及眾數。	答案：中位數為 18（第 4 個數據），眾數為 15（出現兩次）。（評分要點：中位數 2 分、眾數 2 分）
23	(c) 求全距及四分位距。	答案：全距 = 25 − 12 = 13；Q1 = 15、Q3 = 22，四分位距 = 7。（評分要點：全距 2 分、四分位距 2 分）
24	(d) 若每個分數都加 3 分，新平均數是多少？若每個分數都乘 2，新平均數又是多少？	答案：加 3 後為 21.14；乘 2 後為 36.29。（評分要點：各 1.5 分，計算過程正確即可）

TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。