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中五數學練習卷：函數與圖像、數列、排列組合與概率（12 題・100 分・75 分鐘）
練習卷 · 中五數學・12 題・100 分・75 分鐘
中五數學練習卷：12 題、100 分、75 分鐘。內容涵蓋二次函數配方、頂點與對稱軸、指數函數圖像變換、等差與等比數列、無限項之和、排列與組合、概率、複利增長及標準差，每題附完整答案、計算步驟與評分要點。
卷面資料 年級：中五（S5） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：函數與圖像（第 1–4 題）
全部題目均須作答；計算題須列出算式、代入步驟及單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 設函數 f(x) = 2x² − 8x + 5。 (a) 以配方形式表示 f(x)，並寫出圖像的頂點及對稱軸。 (b) 求 f(x) 的最小值，並判斷該函數有没有最大值。 (c) 解方程 f(x) = 0，答案取三位有效數字。 |
(a) f(x) = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3；頂點為 (2, −3)，對稱軸為 x = 2。 (b) 因為 x² 的二次項數字 2 為正數，拋物線開口向上，最小值為 -3；沒有最大值（函數值可無限增大）。 (c) 2x² − 8x + 5 = 0，判別式 = 64 − 40 = 24；x = (8 ± √24) ÷ 4，得 x = 3.225 或 x = 0.775。 評分要點：配方及頂點對稱軸（3 分）、最小值判斷與解釋（3 分）、求根公式及有效數字（3 分）。 |
| 2 | 某細菌培養的數量 y 與時間 x 小時的對應為 y = 3 × 2ˣ。 (a) 求 x = 4 時 y 的值。 (b) 求 y = 96 時 x 的值。 (c) 描述 y = 3 × 2ˣ 的圖像與 y = 2ˣ 的圖像之間的變換對應。 |
(a) y = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48。 (b) 3 × 2ˣ = 96，即 2ˣ = 32 = 2⁵，所以 x = 5。 (c) 把 y = 2ˣ 的圖像沿 y 軸方向伸延 3 倍（縱向拉長為原來的 3 倍），圖像與 y 軸的交點由 1 升至 3。 評分要點：代入計算（3 分）、解指數方程（3 分）、變換描述（2 分）。 |
| 3 | 已知 y = x² 的圖像向右平移 3 單位、再向上平移 4 單位，得到 y = g(x) 的圖像。 (a) 寫出 g(x) 的代數式。 (b) 寫出 g 的圖像的頂點坐標。 (c) 求 g(0) 的值，並說明它與 y 截距的對應。 |
(a) 向右平移 3 單位即把 x 換成 (x − 3)，向上平移 4 單位即在函數外加上 4，所以 g(x) = (x − 3)² + 4。 (b) 頂點由 (0, 0) 移至 (3, 4)。 (c) g(0) = (0 − 3)² + 4 = 9 + 4 = 13，即圖像與 y 軸交於 (0, 13)，此值就是 y 截距。 評分要點：代數式（3 分）、頂點（3 分）、代入及 y 截距解釋（3 分）。 |
| 4 | 某小店出售手作蛋糕，售價為每件 x 元時，每日可售出 (120 − 2x) 件，收益 R(x) = x(120 − 2x) 元。 (a) 把 R(x) 寫成 a(x − h)² + k 的形式。 (b) 求售價使收益最大，並求最大收益。 (c) 若店主希望每日收益不少於 1600 元，求售價的整數範圍。 |
(a) R(x) = −2x² + 120x = −2(x² − 60x) = −2(x − 30)² + 1800。 (b) 因 −2 為負數，x = 30 時 R 最大，最大收益 = 1800 元。 (c) −2(x − 30)² + 1800 ≥ 1600 即 (x − 30)² ≤ 100，故 20 ≤ x ≤ 40；售價的整數範圍為 20 元至 40 元。 評分要點：配方（4 分）、最大值及售價（4 分）。 |
乙部：數列與求和（第 5–8 題）
提示：拋物線 y = ax² + bx + c 的頂點 x 坐標為 −b ÷ 2a；無限等比數列之和為 a ÷ (1 − r)，僅當 r 的絕對值小於 1。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 某等差數列的首項為 7，公差為 −3。 (a) 求第 20 項。 (b) 求首 20 項之和。 (c) 求首 n 項之和 S(n) 的代數式，並判斷 S(n) 會不會等於 0。 |
(a) 第 20 項 = 7 + 19 × (−3) = 7 − 57 = -50。 (b) 首 20 項之和 = 20 × (7 + (-50)) ÷ 2 = 10 × (−43) = -430。 (c) S(n) = n ÷ 2 × [14 + (n − 1)(−3)] = n(17 − 3n) ÷ 2；令 S(n) = 0 得 n = 0 或 n = 17 ÷ 3（非整數），故首 n 項之和不會等於 0（n 為正整數）。 評分要點：通項（2 分）、求和公式及數值（3 分）、S(n) 代數式與判斷（3 分）。 |
| 6 | 某等比數列的首項為 5，公比為 0.6。 (a) 求首 5 項之和。 (b) 求該數列無限項之和。 (c) 說明為何這個等比數列的無限項之和存在，而公比為 1.2 時則不存在。 |
(a) 首 5 項之和 = 5 × (1 − 0.6⁵) ÷ (1 − 0.6) = 5 × (1 − 0.07776) ÷ 0.4 ≈ 11.528。 (b) 無限項之和 = 5 ÷ (1 − 0.6) = 5 ÷ 0.4 = 12.5。 (c) 公比 0.6 的絕對值小於 1，各項逐漸趨向 0，部分和收斂；公比 1.2 的絕對值大於 1，各項絕對值不斷增大，部分和發散，故無限項之和不存在。 評分要點：有限項之和（3 分）、無限項之和（3 分）、收斂條件解釋（2 分）。 |
| 7 | 考慮 100 與 500 之間所有 3 的倍數。 (a) 寫出這個數列的首項與末項。 (b) 求這些數的個數。 (c) 求它們的總和，並說明所用公式的條件。 |
(a) 首項為大於 100 的最小 3 的倍數，即 102；末項為小於 500 的最大 3 的倍數，即 498。 (b) 個數 n = (498 − 102) ÷ 3 + 1 = 133。 (c) 總和 = n(首項 + 末項) ÷ 2 = 133 × (102 + 498) ÷ 2 = 133 × 300 = 39900。此公式要求數列為等差數列，且項數與首末項對應正確。 評分要點：首末項（3 分）、項數（3 分）、總和及條件（3 分）。 |
| 8 | 某城市人口現時為 5000 人，每年增長率為 3%，以複利方式計算（compound interest）。 (a) 求 5 年後的人口，取整數。 (b) 求最少多少年後人口會超過現時的兩倍。 (c) 若增長率改為每年 5%，所需年數會增加還是減少？簡略解釋。 |
(a) 人口 = 5000 × 1.03⁵ ≈ 5796.37，即約 5796 人。 (b) 需 1.03ⁿ 大於 2；1.03²³ ≈ 1.974、1.03²⁴ ≈ 2.033，故最少 24 年。 (c) 增長率較高，每年倍數 1.05 大於 1.03，所需年數會減少（約 15 年）。 評分要點：5 年後人口（4 分）、倍増年數（4 分）。 |
丙部：排列組合、概率與統計（第 9–12 題）
概率答案可用分數或小數表示；小數須取三位有效數字，並註明單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 某班有 5 名男生及 4 名女生，現從中選出 3 人組成委員會。 (a) 求所有可能的組合數目。 (b) 求委員會中至少有一名女生的組合數目。 (c) 求委員會中恰有一名女生的組合數目，並核對 (b) 與 (c) 的對應。 |
(a) 組合數目 = C(9, 3) = 84。 (b) 全部為男生的組合有 C(5, 3) = 10 個，故至少一名女生 = 84 − 10 = 74。 (c) 恰有一名女生 = C(4, 1) × C(5, 2) = 4 × 10 = 40；兩名女生 = C(4, 2) × C(5, 1) = 30，三名女生 = C(4, 3) = 4，故 40 + 30 + 4 = 74，與 (b) 一致。 評分要點：總組合（3 分）、至少一名女生（3 分）、恰一名女生及核對（3 分）。 |
| 10 | 7 名學生排成一行拍照，其中甲、乙兩人必須相鄰。 (a) 求所有排列的數目。 (b) 求甲、乙相鄰的排列數目。 (c) 由此求隨機排列時甲、乙相鄰的概率，答案取三位有效數字。 |
(a) 7 人全排列 = 7! = 5040。 (b) 把甲、乙視為一個單位，與其餘 5 人共 6 個單位排列，另乘 2 種內部次序：2 × 6! = 2 × 720 = 1440。 (c) 概率 = 1440 ÷ 5040 = 2 ÷ 7 ≈ 0.286。 評分要點：全排列（3 分）、相鄰排列（3 分）、概率（2 分）。 |
| 11 | 一個袋內有 4 個紅球及 6 個藍球，隨機抽出 2 個球，不放回。 (a) 求兩個都是紅球的概率。 (b) 求至少有一個紅球的概率。 (c) 比較有放回與不放回兩種情況下 (a) 的答案。 |
(a) 兩個都是紅球的概率 = C(4, 2) ÷ C(10, 2) = 6 ÷ 45 = 2 ÷ 15 ≈ 0.133。 (b) 至少一個紅球 = 1 − C(6, 2) ÷ C(10, 2) = 1 − 15 ÷ 45 = 2 ÷ 3 ≈ 0.667。 (c) 若有放回，兩個都是紅球的概率 = (4 ÷ 10)² = 0.16，大於不放回的 0.133，因為不放回時抽走紅球會令第二次抽到紅球的機會下降。 評分要點：組合計算（4 分）、至少一個紅球（4 分）。 |
| 12 | 某組數據為 4, 7, 7, 9, 13。 (a) 求平均值及標準差（以母體標準差計算，取三位有效數字）。 (b) 若每個數據同時加 5，求新的平均值及標準差。 (c) 若每個數據同時乘 2，說明平均值與標準差如何改變。 |
(a) 平均值 = (4 + 7 + 7 + 9 + 13) ÷ 5 = 8；離差平方和 = 16 + 1 + 1 + 1 + 25 = 44.0，方差 = 44.0 ÷ 5 = 8.8，標準差 = √8.8 ≈ 2.966。 (b) 每個數據加 5 後平均值 = 13，標準差不變，仍約為 2.966。 (c) 每個數據乘 2 後平均值變為 2 倍即 16，標準差亦變為 2 倍約 5.93；乘以常數會同時按同一倍數改變平均值與標準差。 評分要點：平均值與標準差（4 分）、加常數的影響（4 分）。 |
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