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中五數學（必修部分）練習卷：指數與對數、數列、二次函數與概率統計（12 題・100 分・75 分鐘・附答案）｜原創模擬試題
練習卷 · DSE 數學（必修部分）：指數、對數、數列、二次函數與概率全卷
本卷 12 題、100 分、75 分鐘，覆蓋中五數學（必修部分）：指數定律與對數運算、等差與等比數列、二次函數的頂點與判別式、直線與圓的方程、概率的古典定義、數據的平均數與標準差、正態分佈的經驗法則，以及組合計數；全部數值由程式自算，附評分要點。
卷面資料 年級：中五（S5） ｜ 科目：數學（必修部分） ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：指數、對數與數列（24 分）
每題 6 分，須列式或說明推理。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 解下列方程：(a) 3^(2x−1) = 81；(b) log₅(2x+3) = 2。並說明每步所用的指數或對數性質。 | (a) 81 = 3^4，故 2x − 1 = 4，x = 2.5。(b) log₅(2x+3) = 2 即 2x + 3 = 5² = 25，x = 11。評分要點：同底比較、指數與對數互化、答案。 |
| 2 | 已知 log 2 = a、log 3 = b。(a) 以 a、b 表示 log 72；(b) 以 a、b 表示 log 4.5；(c) 解釋為何 log 72 的係數與 72 的質因數分解有關。 | (a) 72 = 2³ × 3²，故 log 72 = log 2³ + log 3² = 3a + 2b（次方 3 與 2 分別成為 a 與 b 的係數）。(b) log 4.5 = log(9/2) = 2 log 3 − log 2 = 2b − a。(c) 對數把乘法化為加法，每個質因數的次方直接成為係數。評分要點：分解、兩條對數式、解釋。 |
| 3 | 某等差數列首項為 7、公差為 4。(a) 求第 20 項。(b) 求首 20 項之和。(c) 求首 n 項和大於 900 的最小 n。 | (a) 第 20 項 = 7 + 19 × 4 = 83。(b) 首 20 項和 = 20(7 + 83)/2 = 900。(c) 首 n 項和 = n(2×7 + (n−1)×4)/2，n = 15 得 570、n = 18 得 792、n = 19 得 874、n = 20 得 900，故最小 n = 20。評分要點：通項、求和公式、比較。 |
| 4 | 某等比數列首項為 3、公比為 2。(a) 求首 10 項之和。(b) 求最小的 n 使第 n 項大於 1000，並寫出該項。 | (a) 首 10 項和 = 3(2^10 − 1)/(2 − 1) = 3069。(b) 第 n 項 = 3 × 2^(n−1)，2^8 = 256 得 768（不大於 1000）、2^9 = 512 得 1536，故最小 n = 10，該項為 1536。評分要點：等比求和、逐次比較、答案。 |
乙部：二次函數、直線與圓（36 分）
每題 9 分，注意題目各部分的配分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 曲線 y = x² − 6x + 5。(a) 以 (x − h)² + k 形式表示。(b) 寫出頂點與最小值。(c) 求 x 軸截距與 y 軸截距。 | (a) x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4。(b) 頂點 (3, -4)，最小值 -4。(c) x 軸截距 x = 1 與 x = 5；y 軸截距 y = 5。評分要點：配方、頂點、三組截距。 |
| 6 | 直線 L 為 3x + 4y − 12 = 0。(a) 求斜率。(b) 求 x 軸截距與 y 軸截距。(c) 求原點到 L 的垂直距離。 | (a) 4y = −3x + 12，y = −(3/4)x + 3，斜率 −3/4。(b) x 軸截距 (4, 0)、y 軸截距 (0, 3)。(c) 距離 = |−12|/√(3² + 4²) = 12/5 = 2.4。評分要點：整理為斜截式、兩截距、點線距離公式。 |
| 7 | 圓 C 的方程為 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0。(a) 求圓心與半徑。(b) 證明點 (6, 0) 在 C 上。(c) 求圓與 x 軸相交所得弦的長度。 | (a) x² − 4x + y² + 6y = 12，(x − 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 + 12 = 25，圓心 (2, -3)、半徑 5。(b) 代入 (6, 0)：36 + 0 − 24 + 0 − 12 = 0，故在圓上。(c) 令 y = 0 得 x² − 4x − 12 = 0，x = 6 或 x = -2，弦長 = 8。評分要點：配方法、代入驗證、弦長。 |
| 8 | 方程 x² − 8x + k = 0。(a) 求 k 的範圍使方程有兩個相異實根。(b) 若兩根均為正數，求 k 的範圍。(c) 當 k = 12 時解該方程。 | (a) 判別式 = 64 − 4k 大於 0，故 k 小於 16。(b) 兩根和 = 8 大於 0，兩根積 = k 大於 0，故 0 小於 k 小於 16。(c) x² − 8x + 12 = 0，(x − 2)(x − 6) = 0，x = 2 或 x = 6。評分要點：判別式、根與係數關係、因式分解。 |
丙部：概率與統計（40 分）
每題 10 分，須作完整計算或解釋。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 袋中有 5 個紅球、3 個藍球、2 個綠球。隨機抽出兩個球（不放回）。(a) 求兩個皆為紅球的概率。(b) 求兩球同色的概率。(c) 求最少有一個紅球的概率。 | (a) 兩個皆紅 = (5/10) × (4/9) = 2/9。(b) 同色 = (5×4 + 3×2 + 2×1)/(10×9) = 14/45。(c) 最少一紅 = 1 − 兩個皆非紅 = 1 − (5×4)/(10×9) = 7/9。評分要點：不放回、互斥情況相加、補集。 |
| 10 | 數據組為 2, 4, 6, 8, 10。(a) 求平均數、中位數與眾數。(b) 求全距。(c) 求方差與標準差。(d) 若每個數據加 5，平均數、方差與標準差如何變化？ | (a) 平均數 = 30/5 = 6，中位數 = 6，各值只出現一次故無眾數。(b) 全距 = 10 − 2 = 8。(c) 方差 = 40/5 = 8，標準差 = √8 ≈ 2.83。(d) 每個數據加 5 後平均數變 11；方差與標準差不變（平移不改變離散程度）。評分要點：三個集中趨勢、全距、方差與標準差、平移性質。 |
| 11 | 某考試成績呈正態分佈，平均數 60 分、標準差 10 分。(a) 寫出平均數加減一個及兩個標準差所覆蓋的百分比。(b) 估計高於 80 分的考生百分比。(c) 最高 16% 獲 A 級，估計 A 級的分數界線。 | (a) 平均數 ± 1 標準差約覆蓋 68%，± 2 標準差約覆蓋 95%，± 3 標準差約覆蓋 99.7%。(b) 80 分為平均數加兩個標準差，高於此約佔 (100% − 95%)/2 = 2.5%。(c) 84% 的考生低於 70 分（平均數加一個標準差），故最高 16% 的界線約為 70 分。評分要點：經驗法則、尾部百分比、界線。 |
| 12 | 從 6 名男生與 4 名女生中選 3 人組隊。(a) 求不同隊伍的數目。(b) 求最少有一位女生的隊伍數目。(c) 求隊伍恰好有兩位女生的概率。 | (a) 隊伍數目 = C(10, 3) = 120。(b) 全男組合 = C(6, 3) = 20，故最少一女 = 120 − 20 = 100。(c) 恰兩女一男 = C(4, 2) × C(6, 1) = 6 × 6 = 36，概率 = 36/120 = 3/10。評分要點：組合公式、補集、乘法原理。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。