中六數學練習卷：微分與積分入門（12 題・100 分・75 分鐘）

練習卷 · 中六數學：微分、積分與應用全卷

中六數學練習卷：微分與積分入門，共 12 題、100 分、75 分鐘。內容涵蓋求導法則、基本原理求導、切線與法線、駐點與二階導數判別、不定積分與定積分、曲線下面積、速率與位移、球形氣球相關速率及梯形法則估算，並附完整答案與評分要點，適合中六學生操卷。

卷面資料　年級：中六（S6）　｜　科目：數學　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：12

考生須知：本卷分甲、乙、丙三部，全部題目均須作答，總分 100 分，時限 75 分鐘。

作答時須寫出所用公式及代入步驟，數值答案取三位有效數字並標明單位。

積分題須寫出原函數；應用題須指出所用的求導或積分方法，例如二階導數判別法、連鎖律、梯形法則。

建議用 20 分鐘完成甲部，30 分鐘處理乙部，餘下 25 分鐘覆核丙部。

甲部導數、求導法則與切線法線（4 題，28 分）

回答下列各題，須列出解題步驟。

#	題目	答案與評分要點
1	設 f(x) = 3x² – 4x + 1。(a) 用求導法則求 f'(x)。(b) 由此求 f'(2)。	f'(x) = 6x – 4，3 分（兩項各 1.5 分）。f'(2) = 6(2) – 4 = 8，3 分。
2	用基本原理（極限定義）求 g(x) = x² 在 x = 3 的導數，並清楚列出步驟。	g'(3) = lim(h→0) [((3+h)² – 9)] / h = lim(h→0) (6h + h²)/h = lim(h→0) (6 + h) = 6。展開 2 分、化簡 2 分、取極限 2 分。
3	求曲線 y = x³ – 6x² + 9x 的駐點，並用二階導數判別各駐點的性質。	y’ = 3x² – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3)，2 分；駐點為 x = 1 與 x = 3，2 分；y” = 6x – 12，x = 1 時 y” = -6，小於 0，故 (1, 4) 為極大點，2 分；x = 3 時 y” = 6，大於 0，故 (3, 0) 為極小點，2 分。
4	求 y = 2x³ – 3x² – 12x + 5 的極大值與極小值，並指出對應的 x 值。	y’ = 6x² – 6x – 12 = 6(x – 2)(x + 1)，2 分；x = 2 或 x = -1，2 分；y” = 12x – 6，x = -1 時 y” = -18，小於 0，極大值 y = 12，2 分；x = 2 時 y” = 18，大於 0，極小值 y = -15，2 分。

積分題須寫出原函數，並清楚標明上下限。

#	題目	答案與評分要點
5	求下列不定積分：(a) ∫(6x² – 4x + 3) dx；(b) ∫(8x⁻³ + 5) dx。	(a) 2x³ – 2x² + 3x + C，4 分（三項各 1 分，常數 C 1 分）。(b) 8x⁻²/(-2) + 5x + C = -4/x² + 5x + C，4 分（每項 1.5 分，C 1 分）。
6	計算定積分 ∫₁³ (x² + 2x) dx，須列出原函數及代入步驟。	原函數為 x³/3 + x²，3 分；上限代入：9 + 9 = 18；下限代入：1/3 + 1 = 4/3；18 – 4/3 = 50/3，約 16.7，5 分。
7	求曲線 y = 4x – x² 與 x 軸所圍成的區域面積。	與 x 軸交於 x = 0 與 x = 4，2 分；面積 = ∫₀⁴ (4x – x²) dx，2 分；= [2x² – x³/3]₀⁴ = 32 – 64/3 = 32/3，約 10.7 平方單位，4 分。
8	某粒子沿直線運動，速度為 v(t) = 3t² – 12t + 9（單位：m/s），t ≥ 0。(a) 求 t = 2 時粒子的加速度。(b) 求 t = 0 至 t = 4 之間粒子的位移。	(a) a(t) = v'(t) = 6t – 12，t = 2 時加速度為 0 m/s²，3 分。(b) 位移 = ∫₀⁴ v dt = [t³ – 6t² + 9t]₀⁴ = 64 – 96 + 36 = 4 m，5 分。

應用題須設未知數、寫出目標函數或關係，並標明單位。

#	題目	答案與評分要點
9	一塊長方形農地一邊靠牆，其餘三邊用 60 m 圍欄圍起。設垂直牆的兩邊各長 x m。(a) 以 x 表示面積 A。(b) 求 A 的最大值及對應的 x 值。	(a) 另一邊為 (60 – 2x) m，A = x(60 – 2x) = 60x – 2x²，3 分。(b) dA/dx = 60 – 4x = 0，得 x = 15，3 分；d²A/dx² = -4，小於 0，故為極大，2 分；A = 15 × 30 = 450 m²，2 分。
10	曲線為 y = x² – 3x + 4，求在 x = 2 處的切線方程與法線方程。	切點 y(2) = 2，即 (2, 2)，1 分；y’ = 2x – 3，切線斜率為 1，3 分；切線 y – 2 = 1(x – 2)，即 y = x，3 分；法線斜率為 -1，y – 2 = -(x – 2)，即 y = -x + 4，3 分。
11	一個球形氣球的體積以 30 cm³/s 的速率增加，體積 V = (4/3)πr³。當半徑 r = 5 cm 時，求半徑增加的速率。	dV/dr = 4πr²，3 分；由連鎖律 dV/dt = (dV/dr)(dr/dt)，2 分；30 = 4π(25)(dr/dt)，2 分；dr/dt = 30/(100π) = 0.0955，約 0.096 cm/s，3 分。
12	某水缸的入水速率 R(t) 每 2 分鐘量度一次：t = 0、2、4、6、8 分鐘時分別為 4、7、9、8、5（單位：L/min）。(a) 用梯形法則估計首 8 分鐘的總入水量。(b) 說明此估計值可能偏高還是偏低，並解釋原因。	(a) 梯形法則，h = 2：面積 ≈ (2/2)[4 + 2(7 + 9 + 8) + 5] = 57 L，6 分（列式 3 分、答案 3 分）。(b) 速率在 t = 4 附近達峰，曲線凹向下，梯形以直線連接會高估，故估計值可能偏高，4 分。

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