DSE 數學｜定積分求面積與體積備課指引（導師用）

DSE 數學｜定積分求面積與體積備課指引（導師用）｜一條曲線三種問法

2026-11-03

學生識計 ∫x² dx，但一見到「求面積」就亂代上下限。這一堂只講一條曲線，用同一個積分回答面積、夾出面積與旋轉體體積三種問法，順手講清楚梯形法為何偏高。

本堂目標　學生能夠：① 用 ∫₀² x² dx = 2.667 講出定積分就是有向面積，並正確寫出上下限；② 求兩曲線之間的面積：先找交點，再用上減下；③ 用 π∫y² dx 求繞 x 軸旋轉體體積（本例 20.11）；④ 用 4 條梯形估算同一積分得 2.75，並解釋誤差 0.083（3.13%）的方向。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
不定積分	∫x² dx 是甚麼？	x³/3 + C
代入上下限	F(2) − F(0) 怎樣算？	先代上限再減下限
圓面積	半徑 y 的圓面積？	πy²

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	一條問題開場	曲線下的面積可否用小學的長方形加出嚟？	先估，再用積分核對
10–22 分	定積分＝面積	∫₀² x² dx = 2.667，逐項寫反導數與代入	自己算出 2.667
22–34 分	兩曲線之間	先解交點，再判斷上減下	y = x 與 y = x² 夾出 0.167
34–46 分	旋轉體體積	π∫y² dx，留意平方在積分裡面	得 20.11
46–56 分	梯形法與誤差	4 條梯形得 2.75，比真值高 0.083	解釋為何偏高
56–60 分	離場檢查	即場批改三題	三題全對

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：定積分只做兩件事：找反導數、代上下限

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 2.667。三個失分位全部在這裡：忘記寫 dx、上下限調轉（答案變負）、把 2 代入後忘了減 0。積分區間要在圖上指出來，面積永遠是正數，積分可以是負數——曲線在 x 軸以下時要取絕對值或分段。

叫學生做：寫出 ∫₁³ (2x + 1) dx 的完整三行，包括反導數與代入。

第二幕：兩曲線之間：交點先，上下後

y = x 與 y = x² 在 x = 0 與 x = 1 相交（解 x = x²）。區間內 x 大於 x²，所以面積是 ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 0.1667。順序顛倒會得到負數，那就代表上下寫反了。若交點多於兩個，必須分段積分，並在每段重新判斷誰在上。

追問：若改成對 y 積分，兩條線要寫成 x = y 與 x = y²，答案一樣嗎？

第三幕：旋轉體：π 提出，y 要平方

y = x² 繞 x 軸轉，截面是半徑 y 的圓，體積 = π∫₀² (x²)² dx = π∫₀² x⁴ dx = π[x⁵/5]₀² = 20.1062。最常見的錯是把 y 忘記平方，或把 π 也算進積分裡面再乘一次。梯形法檢查：4 條、每條闊 0.5，得 2.75，比真值 2.667 高 0.083（3.13%），因為 y = x² 向上彎，梯形頂邊在曲線之上，所以一定高估。

叫學生答：若曲線是向下彎，梯形法會高估還是低估？為甚麼？

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
計算	曲線下面積	反導數 → 代上下限	2.667
計算	兩曲線夾出面積	交點 → 上減下 → 積分	0.1667
計算	繞 x 軸旋轉體積	π∫y² dx	20.11
估算	梯形法與誤差方向	分條、加權、比較	高估 3.13%

合理性檢查（一定要教）：核對：∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 2.6667；梯形法 4 條得 2.75，誤差 0.0833，約 3.13%。體積 π × 32/5 = 20.1062，量綱是立方單位。所有面積答案必須為正；出現負數即代表上下限或上下曲線寫反，不是「答案就是負」。考試寫法：先寫積分式，再寫反導數，最後寫數值，三步分開就不會被扣步驟分。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
∫₀² x² dx 的值	2.667	反導數 x³/3，代 2 與 0
y = x 與 y = x² 夾出的面積	0.1667	交點 0 與 1，上減下
y = x² 繞 x 軸 0 至 2 的體積	20.11	π∫x⁴ dx

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
忘記平方就直接積分	π∫x² dx 當成體積	「半徑係 y，截面面積係 πy²，一定要平方。」
上下限調轉	得到負面積就照抄	「面積係正數，負數代表你上下限調轉。」
兩曲線沒有先找交點	直接用 0 到 1 硬代	「交點係區間的邊界，唔找就會積錯段。」
梯形法當成精確值	寫「面積 = 2.75」	「2.75 係估算，真值 2.667，要寫明估算與誤差。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科章節索引　全科章節
本科練習卷 Paper 1 乙部　第 12–14 題：面積與旋轉體

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
∫₀² x² dx	2.667	答對才可進概率
兩曲線夾出的面積	0.1667	錯一題：下堂前重做交點
梯形法誤差方向	高估	錯兩題以上：回到第三幕

09　導師常問

面積一定要畫圖嗎？

不一定，但畫圖能立刻看出誰在上、區間在哪，省回一半時間。

可以用計算機直接積分嗎？

DSE 計算機沒有積分功能，反導數必須自己寫。

體積題會考曲線繞 y 軸嗎？

會，到時改用 x² 對 y 積分，結構完全一樣。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。