DSE 數學｜正態分佈備課指引（導師用）｜由 z 值推到百分位與抽樣誤差

2026-11-04

學生識寫 z 等於（X 減 μ）除 σ，但一問「查表要唔要減一」就停手，遇到「高於第 90 百分位」更加唔知由邊邊入手。這一堂固定三個動作：畫圖、標準化、講清楚要的是哪一面積，之後百分位與樣本平均都是同一套。

本堂目標　學生能夠：① 把任何正態變量標準化成 z，並用圖指出要求的是左尾、右尾還是中間；② 由機率反查 z 再還原成原始分數，講出第 90 百分位的意義；③ 講出樣本平均的標準誤為何是 σ 除根號 n，並用二項分佈的正態近似處理大樣本問題。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
平均值與標準差	標準差量度甚麼？	答數據離平均的分散程度
對稱分佈	正態分佈有幾多成在一個標準差內？	答約 68%
概率	總面積等於幾多？	答 1，即 100%

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	快檢三題	標準差意義、68% 法則、總面積	口頭答，錯即補
8–22 分	標準化與畫圖	z 的公式與三個區域	每題先畫圖再算
22–36 分	查表與百分位	由機率反查 z，再還原 X	兩題一正一反
36–50 分	樣本平均與近似	標準誤、二項正態近似	改 n 看標準誤變化
50–57 分	計時練習	正查與反查各一，樣本平均一題	獨立完成
57–60 分	離場檢查	三個檢查點，每點一題	自評並圈出漏洞

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：標準化：先畫圖，再寫 z

設 X 服從正態分佈，平均 60、標準差 10。要 P(X > 75) 就用 z 等於 (75 − 60) ÷ 10 等於 1.5。查表 Φ(1.5) 約 0.9332，即 93.32% 在 75 分以下，所以高於 75 的只有 6.68%，約等於每 15 人有一個。要 50 至 70 之間就是兩邊各一個標準差：Φ(1) − Φ(−1) 等於 68.27%，即大約三分二。同一個公式，差別只在最後一步要減還是不減，所以圖一定要先畫。

規定動作：每題左邊畫鐘形圖，把要求的面積塗黑，再寫 z，最後才按計算機。

第二幕：百分位：反查表，再還原

「第 90 百分位」即是左邊面積 0.90 對應的 z。由表反查得 z 約 1.2816，還原成原始分是 60 + 1.2816 × 10 等於 72.82。意思是有九成考生低於 72.82 分，不是「72.82 分等於九十分」。這一步最常出錯：學生把百分位當成分數百分比，或者忘記乘回標準差。反查之後一定要做合理性檢查：z 是正的，答案必須高於平均；若算出低於 60 分，一定錯。

要學生口頭講一次「面積幾多、z 幾多、分數幾多」，三個數字齊才算完成。

第三幕：樣本平均：標準誤與二項近似

抽 25 人，樣本平均的標準誤是 10 ÷ 根號 25 等於 2。所以 P(樣本平均 > 63) 的 z 是 (63 − 60) ÷ 2 等於 1.5，機率同樣是 6.68%。樣本越大，標準誤越小，分布越窄，這就是為何大樣本估得準。再看二項分佈：100 次、每次成功機會 0.5，平均 50、標準差 5；求 P(X ≥ 60) 要先做連續性修正，用 59.5，z 是 1.9，機率約 2.87%。不做修正會系統性高估，這一點要講明。

比較兩題：同一個 1.5 個標準差，一個用 σ、一個用 σ 除根號 n，問學生為何答案一樣而故事不同。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
右尾機率	X～N(60, 10²)，求 P(X > 75)	z 後取 1 減 Φ	6.68%
中間區域	求 50 至 70 之間	兩邊 z 各自查表再相減	68.27%
反查百分位	求第 90 百分位	反查 z 再乘 σ 加 μ	72.82
樣本平均	n = 25，求 P(平均 > 63)	標準誤 10 ÷ 5 等於 2	6.68%

合理性檢查（一定要教）：一致性檢查三條：中間區域 68.27% 必須接近 68%，因為那正是加減一個標準差；右尾 6.68% 小於一半，因為 75 高於平均；第 90 百分位 72.82 必須高於 60，因為 z 是正數。任何一條不成立，就是查表方向或加減一步錯了，不用重算全部。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
X～N(50, 8²)，求 P(X > 62)	z = 1.5，約 6.68%	有無先用 1 減 Φ
X～N(50, 8²)，求第 95 百分位（z ≈ 1.6449）	約 63.16	反查後有無乘回 8
n = 64，σ = 8，求樣本平均的標準誤	1	根號 64 等於 8，不是 64

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
查表後忘記 1 減	答 P(X > 75) = 93.3%	「表係左邊面積，你要右邊，所以要一減。」
百分位當成分數百分比	答第 90 百分位即 90 分	「百分位講名次，唔係分數，要反查再還原。」
標準誤用 σ 直接算	n = 25 都用 10	「樣本平均嘅標準差係 σ 除根號 n，樣本越大越窄。」
二項近似不做連續性修正	用 60 而非 59.5	「由整數轉連續，邊界要退半步，唔係就係咁高估。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科章節索引　全科章節
數學練習卷　統計部分：正態分佈與抽樣題

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
標準化	X～N(60, 10²)，P(X > 75) 的 z	算不出：回第一幕公式
百分位	第 90 百分位代表甚麼	答「90 分」：補反查與還原
標準誤	n = 25 時標準誤幾多	答 10：補根號 n

09　導師常問

一定要用計算機的內建函數嗎？

DSE 允許用內建正態分佈函數，但標準化步驟仍要寫出來，否則拿不到方法分。

為何要畫圖？

因為同一個 z 可以問四個不同區域，圖能防止「要右尾卻查了左尾」這類錯。

樣本平均為何仍是正態？

母體正態時樣本平均必為正態；母體非正態而 n 夠大時，中央極限定理也給出近似正態。

立即免費搵導師導師登記 →

本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。