中文（繁體）
中文（簡體）
English
DSE 數學｜排列與組合 備課指引（導師用）｜一句話分開 P 與 C
學生一見「選幾個」就隨手用 C，一見「排隊」就用 P，但真正的難題是「有條件」那一步。這一堂只教兩個判斷：換位置會否改變結果、限制條件可否用補集。
本堂目標 學生能夠：① 用一句話判斷題目要 P 還是 C（互換位置會否得出不同結果）；② 用補集法處理「至少一個」這類限制；③ 分組與分配的分別講清楚（先分組、後排列）；④ 在 5 分鐘內完成 9 人選 4 人的總數與「至少一女」的數目（126 與 121）。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 階乘 | 4! 等於幾多？ | 答 24 |
| P 與 C 的公式 | C(5,2) 同 P(5,2) 分別係幾多？ | 答 10 同 20 |
| 補集概念 | 「至少一個」的反面是甚麼？ | 答「一個都冇」 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 快檢三題 | 抽問階乘、P/C、補集 | 口頭答，錯即補 |
| 8–20 分 | 判斷次序 | 三個情境測試：換位會否改變結果 | 講出 P 還是 C |
| 20–34 分 | 限制條件 | 補集法與直接法比較 | 用補集重算一次 |
| 34–46 分 | 分組與分配 | 先分組、後排列，注意組別相同 | 分辨兩種問法 |
| 46–56 分 | 限時實作 | 三題由易到難 | 獨立完成不查書 |
| 56–60 分 | 離場檢查 | 按三個得分點逐題問 | 自評並圈錯處 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：一句話判斷 P 還是 C
問學生：「甲乙換位置，結果算唔算唔同？」算唔同就是 P，算一樣就是 C。選一個小組（做同一件事）是 C，選人做不同職位是 P。這個判斷要在讀題後三秒內做完，因為之後所有計算都建立在它上面。答錯這一步，後面寫得再靚都是零分。
每題先要學生講一句「換位唔同，所以用 P」或「換位一樣，所以用 C」，講完才動筆。
第二幕：限制條件：先數「唔准」的那一邊
「至少一女」直接數要分一女、兩女、三女、四女四個情況，容易漏。用補集：總數 C(9,4) = 126，減去「全男」C(5,4) = 5，得 121。補集法只有兩個動作，錯的機會少一半。判斷用哪個方法很簡單：如果「符合」的情況多過「不符合」，就用補集。
寫低「總數 − 反面」，兩行都要有數，唔准心算。
第三幕：分組與分配：先分組，後排列
把人分成幾組（組無名）是 C；把組分去不同地方（組有名）就要再乘組數的排列。例如 5 男 4 女中選 2 男 2 女：C(5,2) × C(4,2) = 10 × 6 = 60。若之後要把這 4 人分去兩個不同房間（每房 2 人），就要再乘 2，因為房間有名。圓形排列是 (n − 1)!，6 人圍圈是 120 種，因為轉動後相同只算一種。
要學生圈出「組有無名」，無名就唔准乘組數。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 純組合 | 選人做同一件事 | 判斷換位不變 → C | C(9,4) = 126 |
| 純排列 | 選人擔任不同職位 | 判斷換位有變 → P | P(9,3) = 504 |
| 限制條件 | 至少一女 | 總數減反面（全男） | 121 |
| 圓形排列 | 圍圈而坐 | (n − 1)!，注意有無方向限制 | 120 種 |
合理性檢查（一定要教）：數字大小要合理：C(9,4) = 126，而「2 男 2 女」只有 60，後者一定細過前者，因為加了限制；「至少一女」121 應該接近總數 126，因為全男只有 5 種，減掉的數細，這個比例一睇就知答案有無離譜。排列一定大過組合：P(9,3) = 504 對 C(9,3) = 84，差 3! = 6 倍。若組合答案大過排列答案，一定左右調轉。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 9 人選 4 人組成小組，有幾多種？ | 126 種 | 有無判斷用 C |
| 9 人中選 4 人，至少一女，有幾多種？ | 121 種 | 有無用補集 |
| 5 男 4 女中選 2 男 2 女 | 60 種 | 有無分兩步相乘 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| P 與 C 調轉 | 選小組用 P，得 3024 | 「做同一件事換位冇分別，所以係 C，唔係 P。」 |
| 「至少」逐個情況數 | 只數一女，漏三女四女 | 「至少嘅反面係一個都冇，用總數減去全男最快。」 |
| 分組後忘記組有名 | 分兩房只計 C | 「兩間房唔同，所以分完仲要乘 2。」 |
| 圓形排列當直線 | 6 人圍圈寫 6! | 「圍圈轉動後一樣，所以係 (6 − 1)!。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 判斷 P/C | 換位會否改變結果 | 講唔出：重教第一幕 |
| 補集 | 總數減反面 | 逐個數：重做例題 |
| 分組 | 先分組後排列 | 漏乘：重講第三幕 |
09 導師常問
0! 為甚麼等於 1？
因為「一個都沒有」只有一種排法，定義成 1 才能令公式一致。
「至少兩個」也可以用補集嗎？
可以，反面是「零個或一個」，要減兩項，記得兩項都要減。
相同物品的排列怎算？
用 n! 除以每個重複組的階乘，例如 AAB 有 3!/2! = 3 種。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。