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DSE 數學｜立體三角學 備課指引（導師用）｜先找投影，再畫直角三角形
學生一見立體圖就用尺量圖上長度，把平面畫出來的斜線當成真實長度，線面角自然全錯。這一堂只固定三個動作：找投影、畫直角三角形、最後才按計數機。
本堂目標 學生能夠：① 用三維畢氏定理（兩次平面畢氏）求空間對角線；② 講出斜線在平面上的投影是哪一條線，並在這個投影所在的直角三角形內求線面角；③ 找出兩個平面的交線，各畫一條垂直交線的直線，用這兩條線求面面角；④ 在 4 分鐘內完成 12×5×4 長方體的空間對角線與線面角（13.60 cm、17.1°）。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 畢氏定理 | 兩股 5 與 12，斜邊幾多？ | 答 13 |
| 投影 | 斜線落在平面上的「影子」是哪一條線？ | 答「由垂足連到斜線落點」 |
| tan 的定義 | tan θ 等於對邊除以甚麼？ | 答「鄰邊」 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 快檢三題 | 抽問畢氏、投影、tan | 口頭答，錯即補 |
| 8–20 分 | 空間對角線 | 兩次畢氏：先底面，再穿高度 | 自行算 5-12-13 底面 |
| 20–34 分 | 線面角 | 示範找垂足與投影，畫出直角三角形 | 畫出並標角 |
| 34–46 分 | 面面角 | 找交線、各畫垂線、比較兩角 | 指出交線 |
| 46–56 分 | 限時實作 | 一題長方體、一題三角柱 | 獨立完成不查書 |
| 56–60 分 | 離場檢查 | 按三個得分點逐題問 | 自評並圈錯處 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：空間對角線：兩次畢氏，不是一條公式
先在底面用畢氏定理：底面對角線 = √(12² + 5²) = 13 cm；再用這條線與高度做第二次畢氏：空間對角線 = √(13² + 4²) = 13.60 cm。要學生每次都把兩步寫出來，因為 DSE 給步驟分；直接寫 √(l²+w²+h²) 雖然答案一樣，但一旦題目不是長方體（例如三角柱）就會全部亂。
要求學生先寫「底面：」再寫「空間：」，兩行都要有數。
第二幕：線面角：先找垂足，再找投影
斜線與平面的夾角，就是斜線與它在平面上投影的夾角。做法三步：① 由斜線的高點向平面作垂線，垂足記住；② 由垂足連到斜線的落點，這一條就是投影；③ 在斜線、垂線、投影組成的直角三角形內用 tan。本堂例子：長方體空間對角線與底面的夾角，tan θ = 4/13 = 0.3077，所以 θ = 17.1°。學生最常直接把「圖上看出來的角」當答案，要問他一句「你嗰個角係邊兩條線夾出嚟」，答不出就代表未找投影。
每題強制先用手指指住垂足，講出投影是哪一條線，才准按計數機。
第三幕：面面角：交線是唯一的起點
兩平面夾角一定沿交線量。做法：先畫出兩平面的交線，然後在每個平面內各畫一條與交線垂直的直線，這兩條線的夾角就是面面角。本堂例子：對角垂直面與底面，交線是底面上與寬平行的邊，兩條垂線分別長 5 與 4，tan θ = 4/5 = 0.80，θ = 38.7°。若學生畫出的兩條線不垂直交線，量出來的角一定偏大，所以垂直記號要畫出來。
畫完垂線要打上直角記號，沒有記號一律當錯。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 空間對角線 | 求長方體或柱體的空間長度 | 底面畢氏 → 再穿高度畢氏 | 13.60 cm |
| 線面角 | 斜線與底面夾角 | 找垂足 → 找投影 → tan = 高 ÷ 投影長 | 17.1° |
| 面面角 | 兩平面夾角 | 找交線 → 各畫垂線 → 求兩線夾角 | 38.7° |
| 反求長度 | 已知角度求某條邊 | 先定直角三角形，再用 sin／cos／tan 反推 | 單位跟題目 |
合理性檢查（一定要教）：數字互相檢查：底面 12 與 5 正好是 5-12-13 的放大版，底面對角線 13 cm；空間對角線 √(13² + 4²) = 13.60 cm，必定長過任何一條稜。線面角 tan θ = 4/13 數值小於 1，所以角度必定小於 45°，計出 17.1° 合理；面面角用 4/5 得 38.7°，比線面角大，因為分母細了，這個大小關係可以用來驗算。若計出線面角大過 45°，一定是把投影與高調轉。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 長方體 12×5×4 cm，求空間對角線 | 13.60 cm | 有無分兩次畢氏 |
| 同一長方體，求空間對角線與底面的夾角 | 17.1° | 有無先找投影 |
| 求對角垂直面與底面的夾角 | 38.7° | 有無沿交線畫垂線 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 把圖上斜線當真實長度 | 用尺量圖得 9 cm | 「圖係示意圖，唔係實物，長度要用畢氏計出嚟。」 |
| 線面角用了斜線與稜的夾角 | 答成 38.7° | 「你嗰個係同邊的夾角，線面角要對投影，唔係對稜。」 |
| 兩次畢氏只做一次 | 答案寫成 13 cm | 「你只計到底面對角線，仲要穿高度，第二步去咗邊？」 |
| 面面角垂線未垂直交線 | 隨便畫兩條線就量 | 「兩條線都要垂直交線，唔垂直就唔係面面角。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 空間對角線 | 兩次畢氏 | 只做一次：重教第一幕 |
| 線面角 | 斜線對投影 | 答唔出投影：回第二幕 |
| 面面角 | 沿交線各畫垂線 | 無直角記號：重畫 |
09 導師常問
一定要背 √(l²+w²+h²) 嗎？
可以背來覆核，但答題要寫兩次畢氏的步驟，否則長方體以外的圖形會完全不會做。
線面角會大過 90° 嗎？
不會。線與平面的夾角定義在 0° 到 90° 之間，計出負數或大過 90° 一定是投影找錯。
面面角用計數機的 tan⁻¹ 還是 sin⁻¹？
看你在直角三角形內知道哪兩條邊：知道對邊與鄰邊用 tan⁻¹，知道對邊與斜邊用 sin⁻¹。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。