IB 數學 AA｜微積分入門備課指引（導師用）

IB 數學 AA｜微積分入門備課指引（導師用）｜導數、切線與駐點

2026-10-28

IB 的微積分題第一步永遠不是求導，而是問「這條線想問斜率、還是想問極值」。這一堂用一條三次函數把兩件事分清楚。

本堂目標　學生能夠：① 用冪法則求 f′(x) 並說明它代表瞬時變化率；② 由導數寫出某一點的切線方程；③ 由 f′(x)=0 找出駐點並判斷極大或極小。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
冪法則	f(x) = x³ − 3x + 2，f′(x) 是什麼	3x² − 3
代入	f(2) 是多少	4
直線方程	斜率 9、過 (2, 4) 的直線	y = 9x − 14

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	斜率到導數	由割線平均變化率推到切線瞬時變化率	講出兩者分別
10–24 分	冪法則	x³ − 3x + 2 → 3x² − 3	逐項求導
24–36 分	切線方程	m = f′(2)、點 (2, f(2))	寫出 y = 9x − 14
36–48 分	駐點與增減	f′(x)=0 → x = ±1	判斷極大極小
48–56 分	IB 答題格式	寫出方法與理由，不只寫答案	改寫一段
56–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：由割線到切線：導數是什麼

割線斜率 = [f(x+h) − f(x)] / h；h 越來越細，割線就越貼近切線，極限就是 f′(x)。
對 x³ − 3x + 2 用冪法則：3x² − 3，這是每一點自己的斜率，不是一個固定數字。

要學生講：為什麼 f′(x) 仍然含 x（因為斜率逐點不同）。

第二幕：切線方程：先斜率、後切點

在 x = 2：m = f′(2) = 3(4) − 3 = 9；切點 y = f(2) = 8 − 6 + 2 = 4。
用點斜式：y − 4 = 9(x − 2)，即 y = 9x − 14，常數項 −14 是自算結果，不是背出來的。

要學生計：x = 0 時切線的 y 值（-14）。

第三幕：駐點：f′(x)=0 之後要再看符號

3x² − 3 = 0 → x = 1 或 −1。x = 1 時 f(1) = 0（極小），x = −1 時 f(−1) = 4（極大）。
判斷方法：取 x = 0 得 f′(0) = −3 < 0（遞減），所以左邊 −1 是極大、右邊 1 是極小。

提醒：f′(x)=0 只是候選，還要看兩側符號；IB 的「justify」就是要求這一句。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
冪法則求導	f(x) = x³ − 3x + 2	逐項乘指數、減一	f′(x) = 3x² − 3
切線方程	x = 2 的切線	m = f′(2)，點 (2, f(2))	y = 9x − 14
駐點與極值	f′(x) = 0	解方程再驗符號	x = 1 極小 0；x = −1 極大 4
變化率應用	給距離函數求速度	位置求導即速度	單位要寫清楚

合理性檢查（一定要教）：切線在切點的函數值一定等於原函數值：把 x = 2 代入 y = 9x − 14 得 4，與 f(2) 相同才算對。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
f′(x)，f(x) = x³ − 3x + 2	3x² − 3	有沒有把常數項變 0
x = 2 的切線斜率	9	有沒有先求導再代入
兩個駐點的座標	(1, 0) 與 (−1, 4)	有沒有分辨極大與極小

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
忘記常數項求導為 0	f′(x) 寫成 3x² − 3 + 2	「常數沒有斜率，求導一定變 0。」
切線用了 f(x) 當斜率	m 寫成 4	「斜率一定來自 f′(x)，不是 f(x)。」
找到駐點就當極值	只寫 x = ±1	「要驗兩側符號，IB 要求 justify 這一句。」
單位與意義不分	速度寫成距離	「求導之後單位也變了，速度是米每秒。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

IB 數學章節索引　用索引內三條練習作課後核對

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
f(2) 的值	4	三題全對＝可進積分
x = 2 的切線方程	y = 9x − 14	錯一題＝重講點斜式
兩個駐點與極值性質	(1, 0) 極小、(–1, 4) 極大	錯兩題以上＝回到第二幕

09　導師常問

IB 會不會考導數的極限定義？

Paper 1 少考定義推導，但 Paper 3 或探究題會要求解釋「極限」的意思，所以第一幕仍要講。

計算機可以求導嗎？

計算機能驗答案，但 IB 要求寫出求導步驟，只有答案不給方法分。

微積分與函數章的關係？

函數章讀圖的形狀，微積分章讀斜率與極值，兩章合用同一條多項式最省時間。

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