IB 數學 AA｜函數與圖像備課指引（導師用）

IB 數學 AA｜函數與圖像備課指引（導師用）｜頂點、判別式與圖像變換

2026-10-28

IB 的函數題不是叫你「畫圖」，而是叫你「由式讀出圖的一切」。這一堂用一條二次函數，把配方、判別式與變換串成一條線。

本堂目標　學生能夠：① 由標準式配方讀出頂點；② 用判別式判斷根的數量與性質；③ 由 f(x) 推出變換後的圖像。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
代入	f(x) = 2x² − 3x + 1，f(2) 是多少	3
配方	x² − 6x + 5 的頂點	(3, −4)
判別式	x² + 2x + 5 有幾個實根	0 個

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	三個面貌	標準式、頂點式、因式	講出互相轉換的方向
8–24 分	配方讀頂點	2x² − 3x + 1 → 頂點	算出 (0.75, −0.125)
24–36 分	判別式	b² − 4ac 與根的數量	算出 1，兩個相異實根
36–48 分	圖像變換	平移、伸縮、反射	由 f(x) 寫出 2(x−1)² + 4
48–56 分	答題格式	IB 要寫方法，不只寫答案	改寫一段
56–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：配方：由 a 抽出，再補平方

2x² − 3x + 1 = 2(x² − 1.5x) + 1 = 2[(x − 0.75)² − 0.5625] + 1 = 2(x − 0.75)² − 0.125。
頂點 (0.75, −0.125)，對稱軸 x = 0.75。IB 評分要看到補平方那一步，直接寫答案會失方法分。

要學生講：為什麼頂點的 y 值不是 1（因為常數項被平方項抵銷了一部分）。

第二幕：判別式：三個情況一次講清

Δ = b² − 4ac = 9 − 8 = 1 > 0，所以有兩個相異實根：x = (3 ± 1) / 4，即 1 與 0.5。
Δ = 0 重根（圖像與 x 軸相切）、Δ < 0 無實根（不相交）。

提醒：先寫 Δ 再判，不要背「大過零有兩個根」而不寫算式。

第三幕：變換：先後次序會影響結果

g(x) = 2(x − 1)² + 4：由 f 的圖像先向右移 1、再縱向拉伸 2 倍、再上移 4。
若先拉伸再平移，橫向平移量會被拉伸倍數放大，兩者不同。

要學生計：g(0) 是多少（6）。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
配方	2x² − 3x + 1	抽 a、補平方、讀頂點	(0.75, −0.125)
判別式	b² − 4ac	9 − 8 = 1	兩個相異實根 1 與 0.5
變換	2(x − 1)² + 4	平移 → 拉伸 → 上移	頂點 (1, 4)
反函數	由 y = f(x) 解 x	交換再解，注意定義域	寫明 x 的範圍

合理性檢查（一定要教）：頂點的 y 值一定等於把對稱軸代回原式；若配方後常數項與直接代入不符，就是補平方時漏了乘 a。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
f(2)，f(x) = 2x² − 3x + 1	3	有沒有先乘再減
2x² − 3x + 1 的判別式	1	b² − 4ac 的符號
2x² − 3x + 1 的兩個根	1 與 0.5	有沒有寫成 (3 ± 1) / 4

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
配方漏乘 a	頂點寫 (1.5, −1.25)	「抽出 2 之後，平方內的 1.5 要再除 2。」
判別式符號錯	Δ 寫成 −1	「b² 係加，4ac 才係減。」
變換次序顛倒	先拉伸後平移	「先平移再拉伸，橫向距離才不會放大。」
只寫答案	IB 方法分全失	「IB 要見步驟，答案對但無過程只得一半分。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

IB 數學章節索引　本頁三題作課後練習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
f(2) 的值	3	三題全對＝可進三角函數
判別式的值與根的數量	1，兩個相異實根	錯一題＝下堂前重講配方
2x² − 3x + 1 的兩個根	1 與 0.5	錯兩題以上＝回到第二幕

09　導師常問

IB 與 DSE 的分別？

IB 要求方法與解釋，公式手冊有給，所以過程比答案重要。

一定要用計算機嗎？

Paper 1 多數不能用，所以配方與判別式要手算得快。

變換會考幾多分？

常見 4 至 6 分，多數要求寫出每一步的次序。

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