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IB 數學 AA｜正態分佈與 z 分數 備課指引（導師用）｜標準化、上尾概率與反向查表
學生背得出 z = (x − μ) ÷ σ，但一收到原始分數就忘記先減平均再除標準差。這一堂用同一個 μ = 62、σ = 8 走完正查與反查兩個方向。
本堂目標 學生能夠：① 把原始分數標準化成 z 並講出符號的意思；② 由 z 查表分出上尾、下尾與區間概率；③ 由給定概率反向查 z 再還原成原始分數。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 減法與除法 | (70 − 62) ÷ 8 是多少 | 1 |
| 補數 | 1 − 0.8413 是多少 | 0.0668 |
| 對稱性 | Φ(−1) 與 Φ(1) 有什麼關係 | 相加等於 1 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 一個例子兩個方向 | 先問「70 分算高嗎」 | 講出要比較就要標準化 |
| 8–20 分 | 標準化 | z = (x − μ) ÷ σ | 算出 z = 1 |
| 20–34 分 | 查表方向 | 上尾、下尾、區間 | 算出 0.8413 與 0.0668 |
| 34–46 分 | 區間概率 | Φ(1) − Φ(−1) | 算出 0.6827 |
| 46–56 分 | 反向查表 | 找 0.9 對應的 z | 算出 72.25 |
| 56–60 分 | 離場檢查 | 三題收回即批 | 獨立完成 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：標準化：先減平均，再除標準差
μ = 62、σ = 8。x = 70 時 z = (70 − 62) ÷ 8 = 1。
要學生講清：z = 1 的意思是「高過平均 1 個標準差」，不是「高了 1 分」。
要學生講清：z = 1 的意思是「高過平均 1 個標準差」，不是「高了 1 分」。
要學生複述：z 的單位是什麼（沒有單位，是標準差的倍數）。
第二幕：查表：上尾一定要用 1 減
Φ(1) = 0.8413，所以 P(X 大過 70) = 1 − 0.8413 = 0.1587。
x = 74 時 z = 1.5，Φ(1.5) = 0.9332，上尾 = 0.0668。
最常見誤解：把 0.9332 當成「大過 74 的概率」，其實那是「細過 74」。
x = 74 時 z = 1.5，Φ(1.5) = 0.9332，上尾 = 0.0668。
最常見誤解：把 0.9332 當成「大過 74 的概率」，其實那是「細過 74」。
要學生複述：題目問「大過」時要由 1 減，問「細過」時直接讀表。
第三幕：反向：先查 z，再乘標準差加平均
要「最高 10%」的分界線，就要找 Φ(z) = 0.9，得 z = 1.2816。
還原：x = 62 + 1.2816 × 8 = 72.25。方向不可以倒轉——一定要先乘 σ 才加 μ。
還原：x = 62 + 1.2816 × 8 = 72.25。方向不可以倒轉——一定要先乘 σ 才加 μ。
要學生計：若 σ 變 10，同一條分界線變成幾多（62 + 12.8155 = 74.82）。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 標準化 | x = 66、μ 62、σ 8 | z = (x − μ) ÷ σ | z = 0.5、概率 0.6915 |
| 上尾概率 | P(X 大過 74) | 1 − Φ(1.5) | 0.0668 |
| 區間概率 | P(54 細過 X 細過 70) | Φ(1) − Φ(−1) | 0.6827 |
| 反向查表 | 最高 10%% 的分界線 | 查 0.9 對應 z 再還原 | 72.25 |
合理性檢查（一定要教）：任何概率一定在 0 與 1 之間；若算出 1.0668 或負數，就是忘記用 1 減或查錯方向。z 為負代表低於平均，不代表概率為負。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| x = 66 的 z 與下尾概率 | z = 0.5、0.6915 | 有沒有先減 62 |
| P(X 大過 74) | 0.0668 | 有沒有用 1 減 |
| 最高 10%% 的分界線 | 72.25 | σ 有沒有乘在 z 之後 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 標準化次序倒轉 | 寫成 (62 − 70) ÷ 8 = −1 | 「一定係先減平均，再除標準差，次序唔可以調。」 |
| 上尾忘記用 1 減 | 答 0.9332 | 「表讀出嚟嘅係『細過』，題目問『大過』就要 1 減。」 |
| 反向查表用 0.1 | 算出 z = −1.28 得 51.75 | 「要最高 10%%，即係下面 90%%，查 0.9。」 |
| 忘記乘標準差 | 答 63.28 | 「還原係 μ + z 乘 σ，唔係 μ + z。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
- IB 數學章節索引 本頁三題作課後練習
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| x = 66 的 z | z = 0.5 | 三題全對＝可進假設檢定 |
| P(X 大過 74) | 0.0668 | 錯一題＝下堂前重講上尾 |
| 最高 10%% 的分界線 | 72.25 | 錯兩題以上＝回到第三幕 |
09 導師常問
公式手冊有 Φ 表嗎？
有標準正態表，但考試通常直接給概率或要求用計算機功能。
要背 68-95-99.7 嗎？
要，IB 常考用一個標準差區間做合理性檢查。
計算機型號有關係嗎？
GDC 可以直接算 normalcdf 與 invNorm，但步驟分仍然要寫。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。