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中一數學｜指數記法與科學記數法：指數律、10 的次方 備課指引（導師用）｜2³ 為何不是 6
學生寫 2³ = 6，因為他把「3 寫在上面的 2」當成 2 乘 3。這個誤解如果不即場拆，之後教指數律會全線崩。這一堂用「展開」把指數由符號變回乘法，再接到 10 的次方與科學記數法。
本堂目標 學生能夠：① 講出 2⁵ = 32 並展開成 2 × 2 × 2 × 2 × 2，同時解釋為什麼 2³ 不是 6；② 用指數律算 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128、5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625、(3²)³ = 3⁶ = 729，並講出「同底相乘指數相加」；③ 把 45000 寫成 4.5 × 10⁴、0.00032 寫成 3.2 × 10⁻⁴，並講出「小數點後移幾位、指數就係幾」。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 乘法 | 2 × 2 × 2 等於幾多？ | 8 |
| 10 的次方 | 10² 等於幾多？ | 100 |
| 小數點移位 | 把小數點向右移一位，數值變大抑或變細？ | 變大十倍 |
02 課堂流程（45 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–5 分鐘 | 由錯誤開始 | 在板寫 2³ = 6，問全班「對唔對」，收集意見 | 舉手講自己看法 |
| 5–14 分鐘 | 指數是展開 | 把 2³ 展開成 2 × 2 × 2 = 8，再算 2⁵ = 32、3⁴ = 81，強調上面那個數是「乘幾多次」 | 自己展開 2⁴ 與 5⁰ |
| 14–24 分鐘 | 指數律 | 2³ × 2⁴ 展開成七個 2，得 2⁷ = 128；再做 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ 與 (3²)³ = 3⁶ | 複述「同底相乘指數相加」 |
| 24–33 分鐘 | 科學記數法 | 45000 的小數點左移四位得 4.5，所以寫 4.5 × 10⁴；0.00032 右移四位得 3.2 × 10⁻⁴ | 自己寫 48000 與 0.0000705 |
| 33–41 分鐘 | 獨立練習三題 | 派三題（展開、指數律、科學記數法），行圈看有無把 2³ 寫成 6 | 每題先展開一次 |
| 41–45 分鐘 | 離場檢查 | 三題口頭快問：2³ 等於幾多、2³ × 2⁴、45000 的科學記數法 | 舉手作答並講理由 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：第一幕：指數是「乘幾多次」，不是乘
「2³ 讀作 2 的三次方，意思係三個 2 相乘：2 × 2 × 2 = 8。上面那個 3 講的是『有幾個 2』，唔係『乘 3』。所以 2³ 唔係 6。你試試講 2⁵：五個 2 相乘，2 × 2 = 4、4 × 2 = 8、8 × 2 = 16、16 × 2 = 32。寫成一行就是 2⁵ = 32。至於 5⁰，規矩是任何非零數的零次方都是 1，因為指數律要接得上。」
要學生複述：上面的數是乘幾多次
第二幕：第二幕：同底相乘，指數相加
「2³ × 2⁴，前面三個 2、後面四個 2，合起來七個 2，所以是 2⁷ = 128。除法方向相反：5⁶ ÷ 5²，六個 5 除兩個 5，剩四個，所以 5⁴ = 625。第三條最易混：(3²)³ 是三個 3² 相乘，即 3² × 3² × 3²，指數 2 + 2 + 2 = 6，所以 3⁶ = 729。三條規矩其實都係『數有幾個底數』。」
要學生複述：相乘相加、相除相減、括號相乘
第三幕：第三幕：科學記數法就是數小數點走幾格
「45000 要寫成 4.5 × 10 的幾次方：把小數點由尾移到 4 後面，向左走四位，所以是 10⁴，寫成 4.5 × 10⁴。細數方向相反：0.00032 的小數點向右走四位到 3 後面，得 3.2 × 10⁻⁴，指數是負數。規矩：前面的數一定在 1 與 10 之間，走幾格指數就是幾，向左為正、向右為負。」
要學生複述：1 到 10 之間、左正右負
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 展開指數 | 2³ 等於幾多？ | （1）讀出底數與指數（2）寫成連乘（3）逐個乘（4）檢查項數等於指數 | 2 × 2 × 2 = 8 |
| 同底相乘與相除 | 2³ × 2⁴ 及 5⁶ ÷ 5² | （1）底數相同才可以合（2）相乘把指數相加（3）相除把指數相減（4）寫出結果 | 2⁷ = 128；5⁴ = 625 |
| 括號的次方 | (3²)³ | （1）括號內是一個數（2）外面再乘三次（3）指數相乘（4）算出結果 | 3⁶ = 729 |
| 科學記數法 | 把 45000 寫成 a × 10ⁿ | （1）把數變成 1 到 10 之間（2）數小數點移了幾位（3）左移為正右移為負（4）寫成 a × 10ⁿ | 4.5 × 10⁴ |
合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：指數結果一定大過底數（除 0 與 1），2⁵ = 32 大過 2，若算出 10 即展開次數錯；同底相乘結果只會更大，2³ × 2⁴ = 128 必然大過 2⁴ = 16；相除結果一定細過被除數，625 細過 5⁶ = 15625；科學記數法前面的數必須介乎 1 與 10，45000 寫成 45 × 10³ 就違規；正數的 10 次方一定大過 1，0.00032 寫成 3.2 × 10⁴ 就方向相反。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 寫出 2⁵ 的展開式並算出結果。 | 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 | 答 10 即係把指數當乘數 |
| 算 5⁶ ÷ 5²，並講出用了哪條指數律。 | 5⁴ = 625，同底相除指數相減 | 答 5³ 即係減錯次數 |
| 把 0.0000705 寫成科學記數法。 | 7.05 × 10⁻⁵，小數點右移五位 | 答 7.05 × 10⁵ 即係方向錯 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 把指數當乘數 | 「2³ = 2 × 3 = 6。」 | 「指數講的是有幾個 2：2 × 2 × 2 = 8。你數一數，係三個 2，唔係二乘三。」 |
| 同底相乘時把底數都乘埋 | 「2³ × 2⁴ = 4⁷。」 | 「底數唔動，只加指數：三個 2 加四個 2 係七個 2，即 2⁷ = 128。」 |
| 括號的次方把指數相加 | 「(3²)³ = 3⁵。」 | 「括號外面再乘三次，係 2 + 2 + 2 = 6，即指數相乘，答案是 3⁶ = 729。」 |
| 科學記數法前面的數超出 1 到 10 | 「45000 = 45 × 10³。」 | 「前面必須介乎 1 與 10，所以寫 4.5 × 10⁴；小數點一共左移四位。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
- 重做第一幕：寫出 2³ 與 2⁵ 的展開式，並解釋 2³ 為何不是 6 章節練習 第 1 題
- 用指數律算 2³ × 2⁴、5⁶ ÷ 5²、(3²)³，三步都要寫明 章節練習 第 2 題
- 預習：把 48000 與 0.0000705 寫成科學記數法，並講出小數點移動方向 章節練習 第 3 題
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 2³ 等於幾多？為什麼？ | 8，因為是三個 2 相乘 | 答 6 即係把指數當乘數 |
| 2³ × 2⁴ 等於幾多？ | 2⁷ = 128，同底相乘指數相加 | 答 4⁷ 即係連底數都乘 |
| 45000 的科學記數法是甚麼？ | 4.5 × 10⁴，小數點左移四位 | 答 45 × 10³ 即係前面超出範圍 |
09 導師常問
為什麼不直接教指數律，先講展開不是浪費時間？
因為學生一旦把 2³ 當成 6，之後每條指數律都會用錯理由記住。展開一次只需兩分鐘，卻令三條指數律變成可推導而不是死記。
5⁰ 為什麼等於 1？
用除法看：5² ÷ 5² 依指數律是 5⁰，而任何數除自己都是 1，所以 5⁰ = 1。這個推法比規定更容易記住。
科學記數法在考試有什麼實際用途？
它令極大與極小的數可以比較與相乘，例如 6 × 10⁷ 與 4 × 10⁴ 一眼看出差三個數量級，這是估算與單位換算的基礎。
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