中二數學｜一次函數的圖像與斜率備課指引（導師用）｜y = mx + c、兩點求方程、平行與垂直

2026-11-13

學生識畫直線，但問到「斜率代表什麼」就只答「斜度」。這一堂把斜率講成每走一步升高幾多，再用一個水缸注水的例子，令 m 與 c 各自有一個可以講出口的意思。

本堂目標　學生能夠：① 講出 y = mx + c 中 m 是「x 每增加 1，y 增加幾多」、c 是 x = 0 時的起點，並用 A(1, 5)、B(4, 17) 算出 m = 4、c = 1，寫出 y = 4x + 1；② 由方程反讀圖形資訊：x 截距是 −1 ÷ 4 = −0.25、過 (0, 1)、每向右 3 格上升 12 格；③ 用斜率判斷平行（斜率相同，如過 (2, −3) 的平行線是 y = 4x − 11）與垂直（斜率相乘等於 −1，故垂直線斜率是 −0.25）。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
代入法	x = 4 時，4x + 1 等於幾多？	答得出 17，答錯就代表代入與運算次序未穩
兩點座標	點 (3, 5) 的 x 與 y 分別是幾多？	講得出 x = 3、y = 5，倒轉就全章會把斜率計反
負數運算	(17 − 5) 除以 (4 − 1) 是多少？	答得出 4，答 −4 或 12 就代表減法次序或除數搞錯

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分	水缸開場	講一個每分鐘注水 4 公升、開始時缸內已有 5 公升的水缸，問 12 分鐘後有幾多水	自己算一次，並講出「起點」與「每分鐘加幾多」
5–13 分	斜率是每單位變化	黑板畫 A(1, 5)、B(4, 17)，示範 (y 差) 除以 (x 差)	自己算 m = 4，並講出 x 加 1 時 y 加 4
13–22 分	由斜率找回起點	用 y − mx 示範求 c，指出 c 就是 x = 0 的值	算出 c = 1，寫出 y = 4x + 1，並標出與 y 軸的交點
22–31 分	讀圖三個問題	問 x 截距、x 加 3 時 y 的變化、點 (2, 9) 是否在線上	算出 −0.25、12、9 不等於 9 個答案並講理由
31–40 分	平行與垂直	寫出兩條平行線與一對垂直線的斜率，要求學生找規律	講出平行斜率相同、垂直斜率乘積 −1，並算出 −0.25
40–45 分	離場檢查	收三條答案，即場標正確／半對／錯	交出三條答案並講一句理由

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：m 是每走一步升高幾多

「m 唔係一個形容詞，係一個比率。y = 4x + 1 的意思：x 每增加 1，y 就增加 4。你由 A(1, 5) 行到 B(4, 17)，x 由 1 變 4，多了 3；y 由 5 變 17，多了 12。12 除 3 等於 4，所以斜率是 4。如果 x 加 3 而 y 只加 3，斜率就是 1，條線就會平好多。考試問你斜率，你要交一個比率，唔係交一句『斜』。」

要學生複述：斜率是 y 的變化除以 x 的變化，即每加 1 升幾多。

第二幕：第二幕：c 是起點，唔係答案

「找到 m 之後，把其中一點代回 y = mx + c。用 A(1, 5)：5 等於 4 乘 1 加 c，所以 c 等於 1。c 的意思是 x = 0 時 y 的值，即條線同 y 軸相交那一點。圖上你就由 (0, 1) 開始，向右 1 格上 4 格，再右 1 上 4，兩點連線就畫完。想找 x 截距，就是問 y = 0 幾時：0 等於 4x 加 1，x 等於 −0.25。負數截距好正常，唔代表計錯。」

要學生複述：c 是 x = 0 的值，寫方程之後要代回一點核對。

第三幕：第三幕：兩點求方程，三步收工

「題目給你兩點 (2, 7) 與 (6, 19)，你只需要三步：一，斜率等於 (19 − 7) 除以 (6 − 2)，即 12 除 4 等於 3；二，代 (2, 7) 入 y = 3x + c，7 等於 6 加 c，c 等於 1；三，寫出 y = 3x + 1，並用另一點 (6, 19) 驗一次：3 乘 6 加 1 等於 19，對。平行線斜率一樣：過 (2, −3) 的平行線是 y = 4x − 11，因為 −3 等於 8 加 c。垂直線斜率就相乘等於 −1，4 的負倒數是 −0.25。」

要學生複述：兩點先算斜率、再代一點求 c、最後用另一點驗。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
由兩點求直線方程	已知 A(1, 5)、B(4, 17)，求直線方程。	① 算 y 差與 x 差 ② 相除得 m ③ 代一點求 c ④ 用另一點驗算	m = 4、c = 1，即 y = 4x + 1，代 (4, 17) 得 17，正確。
由方程讀圖形資訊	y = 4x + 1，求 x 截距及 x 增加 3 時 y 的變化。	① 令 y = 0 解 x ② 變化量等於 m 乘 x 的增加量 ③ 講出正負意義	x 截距 −0.25；x 加 3 時 y 加 12。
平行線	求與 y = 4x + 1 平行、且過 (2, −3) 的直線。	① 斜率照抄 ② 代入新點求 c ③ 寫方程 ④ 檢查兩線 c 不同	y = 4x − 11（−3 = 8 + c，c = −11）。
垂直線	求與 y = 4x + 1 垂直的直線斜率，並寫出一條例子。	① 取負倒數 ② 乘積驗證等於 −1 ③ 選一點寫出完整方程	斜率 −0.25（4 × −0.25 = −1），例如 y = −0.25x + 2。

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：正斜率一定由左下升向右上，算出負數就要回頭看 y 差是否倒轉；x 差不等於零（垂直線除外），分母寫 0 就代表兩點 x 相同；x 增加 3 時 y 的變化應等於 3 乘 m（此處 12），答「加 3」就是把斜率當成 1；x 截距為 −0.25 是負數，屬正常，答「無截距」即未令 y = 0 求解；平行線 c 一定不同，兩條 c 一樣就是同一條線。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
求過 (2, 3) 與 (5, 12) 的直線方程。	m = 3、c = −3，即 y = 3x − 3。	有冇先減 y 再減 x，有冇代點求 c
一條直線斜率 −2、過 (4, 1)，求方程及 x 截距。	y = −2x + 9，x 截距 4.5。	c 是否 9，令 y = 0 後有冇正確解 x
水缸水量 V（公升）與時間 t（分鐘）關係為 V = 4t + 5。12 分鐘後有幾多水？幾分鐘後有 65 公升？	12 分鐘 53 公升；65 公升需 15 分鐘。	有冇把 t 代入而不是相乘，求時間有冇反解方程

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
斜率上下倒轉	「斜率等於 3 除 12，即 0.25。」	「斜率係 y 的變化除 x 的變化，即 12 除 3 等於 4。你倒轉了，就等於話每行 4 格只升 1 格，條線會變得平。」
把 c 當成斜率	「y = 4x + 1，所以斜率是 1。」	「x 前面那個數才是斜率，加號後面那個是截距。斜率 4 代表每加 1 升 4，1 只代表起點在 y 軸的 1。」
平行線寫同一條	「平行線是 y = 4x + 1。」	「同一條線唔叫平行。平行線斜率一樣，但 c 一定要唔同，例如過 (2, −3) 就是 y = 4x − 11。」
垂直斜率取倒數就算	「垂直線斜率是 0.25。」	「要取負倒數，唔係正倒數：4 變 −0.25。你驗一驗乘積，4 乘 0.25 等於 1，唔係 −1。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科目索引：重做本章獨立練習第 1 至 3 題，並把三條方程畫在同一張格紙上對比斜率　本章獨立練習第 1–3 題
數學科目索引：用本章「水缸」模型自擬一題（自定速率與起始水量），寫出方程與兩個問題的答案　本章第五節應用題第 1 題

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
一條直線過 (0, 7)、斜率 −3，寫出方程。	y = −3x + 7。	寫成 y = 7x − 3 即把截距與斜率調亂
(1, 2) 與 (3, 10) 的斜率是幾多？	4（8 除 2）。	答 0.25 即上下倒轉
兩條平行線的斜率有什麼關係？	相同（c 不同）。	答「相乘等於 −1」即與垂直線混淆

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中二。中三讀不等式與線性規劃時會再用斜率判斷可行域的邊界，中四的函數單元亦由此延伸。

45 分鐘夠不夠講三幕？

夠。三幕各約 9 分鐘，剩時間做平行與垂直的配對練習與離場檢查；畫圖只示範一次，其餘要學生自己畫。

有無配套練習？

有。數學科目索引頁連本章練習與答案，可即場對答案，亦可接「聯立方程」章看兩線相交。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。