DSE 數學｜指數與對數備課指引（導師用）｜指數定律、對數定義、換底與解方程

2026-10-27

對數最大的問題是學生當它是一個「要背的公式」。先用「對數在問：要幾多次方？」這一句，整個單元就會通。

本堂目標　學生能夠：① 運用三條指數定律化簡；② 把 a^x = y 與 log_a y = x 互相轉換；③ 用對數定律與換底公式解指數方程。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
指數	計算 2⁵、3⁻²	32、1/9
根式	化簡 √18	3√2
方程	解 2x = 8	x = 4

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	對數在問什麼	log₂8 問「2 的幾次方是 8」	答 3
8–20 分	指數定律	aᵐ×aⁿ、aᵐ÷aⁿ、(aᵐ)ⁿ	化簡六題
20–34 分	對數定律	log ab = log a + log b 等	化簡四題
34–48 分	解指數方程	2^x = 8、3^(2x) = 27	自己做兩題
48–56 分	換底公式	log₂5 = log 5 / log 2	計一題
56–60 分	離場檢查	發三題，收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：對數是「問次方」

log₂ 8 = 3，因為 2³ = 8。
把這句講清楚，a^x = y 與 log_a y = x 只是同一個句子的兩種寫法。
所以 log 不可能出負數的真數（真數 > 0）。

要學生講：log₃ 81 = 4，因為 3⁴ = 81。

第二幕：三條指數定律要熟

aᵐ × aⁿ = a^(m+n)；aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n)；(aᵐ)ⁿ = a^(mn)。
負指數是倒數，分數指數是根式：a^(1/2) = √a。
化簡時先把底數統一，例如 4 = 2²、8 = 2³。

要學生統一底數再做 4^x = 8 這類題。

第三幕：對數定律＋換底

log(ab) = log a + log b；log(a/b) = log a − log b；log aⁿ = n log a。
底數不同時用換底：log_a b = log b / log a。
解 2^x = 5 就要用對數：x = log 5 / log 2 ≈ 2.32。

提醒：log 5 / log 2 不等於 log(5/2)。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
對數定義	log₃ 81	3 的幾次方是 81	4
指數定律	2^(x+1) × 2^(x−1)	指數相加	2^(2x) = 4^x
對數定律	log 8 + log 5	log(8 × 5)	log 40
解方程	3^(2x) = 27	2x = 3	x = 1.5

合理性檢查（一定要教）：對數的真數一定要正數：log(−3) 無定義，見到負數就是題目做錯了。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
log₂ 32	5	2 的幾次方是 32
log 8 + log 5 化簡	log 40	對數加法
解 3^(2x) = 27	x = 1.5	統一底數 3

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
對數寫成乘法	log 8 + log 5 = log 13	相加等於相乘：log 40。
換底寫錯	log₂ 5 = log 2 / log 5	分子是真數、分母是底數。
負指數當負數	2⁻³ = −8	等於 1/8。
忽略真數限制	寫 log(−2) = 0.3	真數必須為正。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　本頁三題作課後練習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
log₂ 32	5	三題全對＝可進三角
log 8 + log 5	log 40	錯一題＝下堂前重講對數定律
3^(2x) = 27 的解	1.5	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

要不要背換底公式？

要，但同時要講「分子是真數」，否則一半學生會倒轉。

計算機怎樣按？

用 log 或 ln 均可，只要同一題用同一底。

指數方程何時用對數？

兩邊不能化成同底時，例如 2^x = 5。

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