DSE 數學｜概率與統計入門備課指引（導師用）｜52 張牌、36 個點數結果、一組 5 個數據

2026-11-03

學生多數「識計」但講不出分母從哪裡來。這一堂所有答案都由樣本空間數出來，不由公式背出來。

本堂目標　學生能夠：① 寫出一個實驗的樣本空間並數出總結果數（52 張牌、36 個骰子結果）；② 分辨何時用加法法則、何時用乘法法則，並講出「互斥」與「獨立」的分別；③ 由一組 5 個數據算出平均數、中位數、眾數與標準差，並講出每個統計量回答什麼問題。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
分數與百分數	將 12/52 約到最簡	3/13
平均數	四個數的平均怎樣計	總和除以數量
平方根	8.8 的平方根大約是多少	約 2.97

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	數分母	由 52 張牌與兩粒骰開始，要求寫出完整樣本空間	52 與 36 都由學生數出
8–20 分	加法還是乘法	兩個法則各示範一題，講清互斥與獨立	每題先講用哪個法則
20–32 分	期望值	用兩粒骰的和示範期望值 3.5	講出 3.5 不是任何一次結果
32–40 分	五個統計量	用 [4, 7, 7, 9, 13] 計平均、中位、眾數、標準差	標準差 ≈ 2.97
40–45 分	離場三問	即場批，錯即場改	三題全對

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：先數分母，不背公式

一副牌 52 張、4 種花色、每種 13 張。問「抽到紅心」的概率，先要學生寫出分母：全部可能結果 52 個，紅心 13 個，所以 13/52 = 0.25。
再問「抽到人頭牌（J、Q、K）」，人頭共 12 張，概率 12/52 ≈ 0.23。兩題的分母一樣，分子不同，學生就會明白分母是「所有結果」，不是「我關心的結果」。
然後轉兩粒骰：結果不是 12 個而是 36 個，因為 (1,2) 與 (2,1) 是兩個結果。這一步一定要學生自己列出 6×6 的表，寫完才講「和是 7 有 6 個組合」。

要學生講：為甚麼兩粒骰有 36 個結果而不是 12 個？

第二幕：加法講「或者」，乘法講「然後」

加法法則處理「A 或者 B」：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。抽一張牌是紅心或者人頭的機會，要把重複算的人頭紅心扣一次。互斥事件（不可能同時發生）才可以不扣。
乘法法則處理「先 A 然後 B」：只有獨立事件才可以直接相乘，否則要用條件概率。教科書最常考的分別就在這裡：擲兩粒骰，第一粒的結果不影響第二粒，所以獨立；抽兩張牌不放回，第二張的概率會變，所以不獨立。
教法固定一句話：先問「或者」還是「然後」，再問「會不會互相影響」。兩個答案決定用哪條式。

要學生講：抽兩張牌不放回，為甚麼第二張抽到紅心的概率不再是 1/4？

第三幕：平均數答「典型」，標準差答「穩定」

用 [4, 7, 7, 9, 13] 這組數：總和 40，5 個數，平均數 8；排序後中間是 7；出現最多的是 7；全距 9。
標準差先算每個數與平均數的差距，平方，平均，再開方：差距是 −4、−1、−1、1、5，平方和 44.0，除以 5 得 8.8，開方約 2.97。
四個統計量各有分工：平均數講典型值、中位數抵抗極端值、眾數講最常見、標準差講分散程度。學生只會講「平均數大啲就叻啲」，是因為沒有人告訴他每個數字在答什麼問題。

要學生講：如果加入一個 100，平均數與中位數哪個變動較大？

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
樣本空間計數	兩粒骰同時擲，和是 7 的概率是多少？	列表或數組合，分母寫 36，分子數出 6	6/36 = 1/6
加法法則	抽一張牌，是紅心或者人頭的概率	先加再扣交集，講明是否互斥	13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52
期望值	擲一粒骰一次，期望值是多少？	每個結果乘概率再相加，講明期望值不是可能結果	3.5
標準差比較	兩組數據平均數相同，哪組較穩定？	先看全距，再算標準差，最後用文字解釋	標準差較小者較穩定

合理性檢查（一定要教）：檢查數字與時間：52 張牌、4 種花色、每種 13 張，人頭 12 張；兩粒骰 36 個結果，和是 7 有 6 個組合，概率 0.167。[4, 7, 7, 9, 13] 的平均數 8、中位數 7、標準差 2.97。所有數字都可以由學生自己數與算，不需要查表。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
擲兩粒骰，求和大於或等於 10 的概率。	6/36 = 1/6（4+6、5+5、5+6、6+4、6+5、6+6）。	分母是否寫 36，以及是否把 (5,6) 與 (6,5) 都算進去
一副牌抽一張，求是紅心或者 A 的概率。	13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13。	是否扣掉紅心 A 這個交集
數據 [4, 7, 7, 9, 13]，求平均數與標準差。	平均數 8，標準差約 2.97。	是否用除以 5（不是除以 4），以及單位

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
分母用錯	兩粒骰的和是 7，答 1/12	「結果總數是 36，不是 12；先把表列出來。」
互斥與獨立混淆	「抽兩張牌，兩張都是紅心的概率是 1/4 × 1/4」	「第二張的時候牌少了，紅心也少了，兩個事件不獨立。」
期望值當預測	「期望值 3.5，所以下一次一定擲到 3 或 4」	「期望值是長期平均，一次結果不會是 3.5。」
標準差除以 n−1	樣本標準差與總體標準差混用	「DSE 這一科用除以 n，除非題目明講樣本。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

DSE 數學概率練習卷　概率部分第 1 至 4 題：每題先寫樣本空間與結果總數，再寫分子，限 20 分鐘。
同一份卷統計部分　第 5 至 7 題：用 [4, 7, 7, 9, 13] 這組數計平均數、中位數、眾數與標準差，每個答案旁寫一句它回答什麼問題。

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
兩粒骰的結果總數	36	答 12 表示未建立有序對的概念
擲一粒骰的期望值	3.5	答 3 或 4 表示仍當期望值是預測
[4, 7, 7, 9, 13] 的中位數	7	答 8 表示把中位數與平均數混淆

09　導師常問

標準差公式要背嗎？

要，但先要學生講得出「先減平均、再平方、再平均、再開方」四步，否則背了也不會用。

期望值可以是分數或小數嗎？

可以，期望值不一定是可能出現的結果，這正是它與概率不同的地方。

中位數與平均數幾時分別最大？

數據有極端值時，例如加入一個 100，平均數會被拉高，中位數幾乎不變。

立即免費搵導師導師登記 →

本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。