DSE 數學｜三角比與方位角備課指引（導師用）｜sin cos tan、餘弦公式與三方位角

2026-11-03

學生識背 SOH CAH TOA，但一見「由 A 測得 B 的方位角」就停手。這一堂要把方位角還原成角度差，再決定用直角三角還是餘弦公式。

本堂目標　學生能夠：① 由已知兩邊或一邊一角選出正確三角比；② 把「由 A 測得」「由 B 測得」寫成兩個方位角並求夾角；③ 在非直角三角形用餘弦公式求第三邊，並判斷何時不能用 sin/cos/tan。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
畢氏定理	兩直角邊 3 與 4，斜邊多少	5
角度單位	計算器應設哪個模式	Degree（DEG）
方位角定義	正北順時針量度，範圍多少	000° 至 360°

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	選比	SOH CAH TOA 對照已知與所求	三題口答選哪個比
8–20 分	斜坡實例	傾角 25°、斜邊 120 m 求升高	算出 50.7 m
20–34 分	方位角	由 A 測得 vs 由 B 測得，畫圖取夾角	夾角 100°
34–46 分	餘弦公式	夾角非 90° 時求第三邊	算出 11.65 km
46–54 分	答題格式	畫圖、寫式、代入、單位、三位有效數字	改寫一段答案
54–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：選比：先標對邊鄰邊斜邊

先把所求角標出來，再逐邊貼標籤：對邊（對住該角）、鄰邊（貼住該角）、斜邊（對住直角）。
已知兩邊求角 → 用 cos⁻¹、sin⁻¹、tan⁻¹；已知一邊一角求另一邊 → 用 sin、cos、tan 直接乘除。
斜坡傾角 25°、斜邊 120 m，求垂直升高：sin 25° = 升高 ÷ 120，升高 = 120 × 0.423 = 50.7 m。

要學生講：同一題求水平距離用哪個比（cos，答案 108.8 m）。

第二幕：方位角：兩個「測得」等於一條邊與一個夾角

方位角一律由正北順時針量，寫成三位數（060°、140°）。
「由 A 測得 B 的方位角 40°」＝ A 出發向 40° 走 6 km 到 B；「由 B 測得 C 的方位角 140°」＝在 B 向 140° 走 9 km 到 C。
兩段方向的夾角＝ 140 − 40 = 100°（同一參考方向相減，不用加 180°）。

要學生做：寫出由 C 回望 B 的方位角（220°，反向要加 180°）。

第三幕：餘弦公式：夾角不是 90° 才出場

a² = b² + c² − 2bc cos A，代入 b = 6、c = 9、A = 100°：a² = 36 + 81 − 2 × 6 × 9 × cos 100° = 135.75，a = 11.65 km。
若夾角剛好 90°，cos 90° = 0，公式自動退回畢氏定理，所以不必另記一套。

提醒：見到「最短距離」＝三點連線直接量，不要逐段相加。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求邊	已知一角一斜邊	寫比 → 移項 → 計算器	50.7 m
求角	已知兩邊	貼標籤 → 選比 → 反函數	約 36.9°
方位角	兩段路程	畫圖 → 相減得夾角	100°
非直角	兩邊夾角求第三邊	餘弦公式 → 開方	11.65 km

合理性檢查（一定要教）：直角三角形斜邊一定是最長邊，算出的對邊不可能大於斜邊；sin 與 cos 的答案一定小於 1。方位角夾角必在 0° 至 180° 之間，若相減得出 260° 就代表取錯方向，要用 360° 減。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
傾角 25°、斜邊 120 m 的垂直升高	50.7 m	是否用 sin 而不是 cos
兩段方位角相距	11.65 km	夾角是否取對（100°）
由 C 回望 B 的方位角	220°	有否加 180° 再取 360° 餘數

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把鄰邊當對邊	sin 與 cos 對調，答案偏大	「先問：這條邊有無貼住隻角？」
計算器設 RAD	sin 25° 得出 0.42	「計角度前先望一眼 DEG。」
方位角相加 180°	夾角算成 280°	「兩個都由北量，直接相減就係夾角。」
非直角照用 tan	用 tan 求第三邊	「無直角就無對邊鄰邊，改用餘弦公式。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

DSE 數學練習卷（三角與測量）　乙部第 14 題：方位角與餘弦公式
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08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
傾角 25° 斜邊 120 m 的升高	50.7 m	三題全對＝可進正弦公式
兩段方位角的直線距離	11.65 km	錯一題＝下堂前重講夾角
何時不可用 tan	沒有直角時	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

sin、cos、tan 要背數值嗎？

不必，計數機會給；但要記 sin 30° = 0.5、cos 60° = 0.5 這類常用值以便驗算。

方位角可否用 0° 至 180° 表示？

香港課程用三位數 000°–360°，答 60° 亦可接受，但 060° 更清楚。

餘弦公式何時比正弦公式好？

已知兩邊及夾角，或三邊求角，用餘弦；已知兩角一邊用正弦。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。