中四數學｜三角學備課指引（導師用）｜sin cos tan、正弦公式與餘弦公式

2026-11-01

學生背得到 SOH-CAH-TOA，但一見到斜邊不在對面的圖就亂配；這一堂要他們先標「直角同斜邊」，再決定用哪條公式。

本堂目標　學生能夠：① 在直角三角形用 sin／cos／tan 由兩邊求角、由一邊一角求另一邊；② 判斷何時用正弦公式、何時用餘弦公式，並講出各自需要的已知條件；③ 用 ½ab sinC 計三角形面積，並講出為何不是底乘高。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
勾股定理	3-4-5 三角形斜邊	5
角度單位	計數機 DEG 模式	sin30° = 0.5
比例與開方	√67	8.185

02　課堂流程（50 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	比值定位	8-15-17 三角形	sinθ = 0.471
8–20 分	求邊與求角	5-12-13	θ = 22.6°
20–32 分	正弦公式	A=40°、a=12、B=65°	b = 16.92
32–44 分	餘弦公式	b=7、c=9、A=60°	a = 8.185
44–48 分	面積公式	½ab sinC	27.28
48–50 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：先標斜邊，再談比值

在直角三角形的比值定義中，斜邊永遠在直角對面，最長那一條。8-15-17 三角形：sinθ = 對邊/斜邊 = 8/17 = 0.471，cosθ = 15/17 = 0.882，tanθ = 8/15 = 0.533，θ = 28.1°。
學生最常錯的是「斜邊選錯」：一定要先圈起直角，斜邊就在它對面。另外提醒計數機要轉 DEG，否則 sin30 會出 0.5 以外的數字，答案差幾十倍。

要學生做：在圖上圈直角、寫「斜邊」，再口頭講三個比值分別是哪兩條邊相除。

第二幕：正弦公式：一對角與對邊就夠

已知 A = 40°、a = 12、B = 65°，求 b：b = a × sinB / sinA = 12 × sin65° / sin40° = 16.92。
正弦公式 a/sinA = b/sinB 的意思是「邊與它的對角成比例」。用之前要確認手上有一對完整的「角＋對邊」，否則就要改用餘弦公式。
鈍角情況要提：sin 值相同可以有兩個角，題目若無圖，要檢查兩解是否都合理。

要學生做：把公式寫成「邊/對角」兩次，圈出已知那一對，再代數。

第三幕：餘弦公式：三邊或兩邊夾角

已知 b = 7、c = 9、夾角 A = 60°，求 a：a² = b² + c² − 2bc cosA = 49 + 81 − 2 × 7 × 9 × cos60°，a = 8.185。
面積就用同一組數據：½bc sinA = ½ × 7 × 9 × sin60° = 27.28。餘弦公式其實是勾股定理的推廣：A = 90° 時 cosA = 0，立即變回 a² = b² + c²。
要學生記住「有夾角用餘弦，面積用 sin」，兩條公式共用同一組兩邊一夾角。

要學生做：同一題先求 a 再求面積，並講出為何面積公式用 sin 而不是 cos。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求角	5-12-13 求最小角	選正確比值再取反函數	22.6°
求邊（正弦）	A=40°、a=12、B=65°	b = a sinB / sinA	16.92
求邊（餘弦）	b=7、c=9、A=60°	a² = b² + c² − 2bc cosA	8.185
面積	b=7、c=9、A=60°	½bc sinA	27.28

合理性檢查（一定要教）：求得 a = 8.185，要大過 |c − b| = 2 且細過 c + b = 16，通過。角度方面 θ = 28.1° 與 θ = 22.6° 都應細過 45°，因為對邊短過鄰邊；若計數機出 60° 以上，就是比值放反了。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
3-4-5 三角形，求最小角。	36.9°	是否先找最短邊對應最小角
A=50°、a=10、B=70°，求 b。	b = 12.27	有沒有確認有一對角與對邊
b=5、c=8、A=120°，求 a。	a = 11.36	cos120° 是否取負值

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
斜邊認錯	把最長邊當成鄰邊	「斜邊一定在直角對面，你先圈直角再講邊。」
計數機未轉 DEG	sin30 出 −0.988	「MODE 轉 DEG，考試第一件事就係做呢個。」
正弦公式放反	寫成 sinA/a 之後又乘 a	「邊喺上面、對角喺下面，寫一次就唔好再翻。」
鈍角忽略第二解	只寫一個角就收工	「sin 一樣可以有兩個角，題目無圖就要兩解都檢查。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引（二次方程、對數、三角、概率）　先完成三角學一章再做對數
中學備課指引總覽　全科索引

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
5-12-13 三角形求最小角。	22.6°	錯＝重講第一幕標邊
A=45°、a=8、B=60°，求 b。	9.80	錯＝重練正弦公式配對
b=6、c=10、A=90°，求 a。	11.66	錯兩題以上＝回到第三幕四步

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中四至中六，DSE 必修部分的三角學與面積題都用得上。

要背幾多條公式？

三條：比值定義、正弦公式、餘弦公式，面積公式由正弦公式推出來，可以一齊記。

有無配套練習？

家課欄連到數學章節索引，可配圓形性質與向量章節順序排。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。