DSE 數學｜二次方程備課指引（導師用）｜因式分解、公式法、判別式與應用

2026-10-27

學生多數只會背公式。這一堂先用因式分解建立「根就是令式子等於零的值」，再用公式補上不能分解的情況。

本堂目標　學生能夠：① 用十字相乘法解可分解的二次方程；② 用公式法解一般二次方程；③ 用判別式判斷根的性質並解釋。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
展開與因式分解	展開 (x−2)(x−3)	x² − 5x + 6
一元一次方程	解 3x − 7 = 8	x = 5
根式化簡	化簡 √48	4√3

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	根的意義	問 x²−5x+6=0 何時成立	答 x=2 或 3
8–22 分	因式分解	示範十字相乘	自己做三題
22–38 分	公式法	示範 2x²+3x−2=0	自己做兩題
38–50 分	判別式	Δ>0、=0、<0 三種情況	判斷五題
50–56 分	應用題	面積與數值問題	列式並解
56–60 分	離場檢查	發三題，收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：根就是令式子等於零的值

x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)。
兩個因數相乘為零，所以 x−2=0 或 x−3=0，即 x=2 或 3。
這句是整個單元的基礎。

要學生複述：「乘積為零，所以每個因數都可能為零。」

第二幕：公式法處理不能分解的情況

ax² + bx + c = 0，x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a。
2x² + 3x − 2 = 0：a=2、b=3、c=−2，得 (−3 ± 5)/4，所以 x = 1/2 或 −2。
代入前先寫出 a、b、c，錯的機會少一半。

提醒：c 是負數時要連負號一齊代入。

第三幕：判別式講根的性質

Δ = b² − 4ac。
Δ>0：兩個相異實根；Δ=0：重根；Δ<0：沒有實根。
題目問「求 k 的範圍使方程有兩個相異實根」，就是解 Δ>0 的不等式。

要學生做：判斷三條方程的根數。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
因式分解法	x² − 5x + 6 = 0	(x−2)(x−3)=0	x = 2 或 3
公式法	2x² + 3x − 2 = 0	(−3 ± 5)/4	x = 1/2 或 −2
判別式	x² + 2x + 5 = 0	Δ = 4 − 20 = −16 < 0	沒有實根
求範圍	x² + kx + 4 = 0 有重根	Δ = k² − 16 = 0	k = ±4

合理性檢查（一定要教）：把根代回原式一定成立；另外，Δ 算錯多數是 b² 與 4ac 的正負號，先寫 a、b、c 再代入。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
x² − 7x + 12 = 0	x = 3 或 4	能否因式分解
x² + x − 1 = 0	x = (−1 ± √5)/2	公式法與根式化簡
x² + 4x + 9 = 0 的根數	沒有實根（Δ<0）	判別式正負

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
只取一個根	答 x = 2	二次方程通常有兩個根，兩個都要寫。
c 的符號錯	把 −2 當 2 代入	先寫 a、b、c 連符號。
Δ 判斷相反	Δ<0 說有兩個根	Δ 負數代表沒有實根。
忘記驗算	答案寫完就算	代回原式檢查。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學章節索引　本頁三題作課後練習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
x²−5x+6=0 的根	2 或 3	三題全對＝可進函數
Δ<0 代表什麼	沒有實根	錯一題＝下堂前重講判別式
2x²+3x−2=0 的根	1/2 或 −2	錯兩題以上＝回到第二幕

09　導師常問

要先教配方法嗎？

DSE 只需認識；解方程以因式分解與公式法為主。

計算機可用嗎？

可以用來驗算，但代入 a、b、c 要手寫一次。

應用題出什麼？

面積、連續整數、兩數之和與積這三類最常見。

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