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中五數學：圓形幾何 第一份（圓心角、圓周角與圓內接四邊形）
中五數學：圓形幾何 第一份（圓心角、圓周角與圓內接四邊形）
第一份集中三條主定理：圓心角是圓周角的兩倍、半圓內的圓周角是直角、圓內接四邊形對角互補；再加切線垂直半徑與切線弦角的應用。
快速答案 40°；90° 與 55°；65°；62° 與 124°；120° 與 60°；72° 與 108°；55° 與 125°；78° 與 102°；130° 與 25°；錯在把圓心角與圓周角的倍數方向倒轉。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學：圓形幾何 |
| 適用年級 | 中五 |
02 題目（10 題）
- 基礎同一段弧所對的圓心角為 80°。該弧在圓周上所對的圓周角是多少？
- 基礎AB 是圓的直徑，C 在圓周上，∠BAC = 35°。求 ∠ACB 與 ∠ABC。
- 基礎ABCD 是圓內接四邊形，∠A = 115°。求 ∠C。
- 基礎AT 是圓在 T 的切線，OT 是半徑，弦 TA 與切線的夾角為 62°。求 ∠OTA 與 ∠AOT。
- 進階同一段弧所對的圓心角比圓周角大 60°。求這兩個角。
- 進階圓內接四邊形的一對對角之比為 2 : 3。求這兩個角。
- 進階弦 AB 在圓心所對的角為 110°。C 在優弧上，D 在劣弧上。求 ∠ACB 與 ∠ADB。
- 挑戰圓內接四邊形 ABCD 中，∠A 的外角為 78°。求 ∠A 的內角與它的對角 ∠C。
- 挑戰由圓外一點 P 向圓作兩條切線，切點為 A、B，∠APB = 50°。求 ∠AOB（O 為圓心）及 ∠APO。
- 錯題重練有學生寫「圓心角是圓周角的一半」。這句話錯在哪裏？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 40° | 圓心角是同弧圓周角的兩倍，80 除以 2 得 40°。 |
| 2 | ∠ACB = 90°，∠ABC = 55° | 半圓內的圓周角是直角，故 ∠ACB = 90°，三角形內角和 180° 得 180 − 90 − 35 = 55°。 |
| 3 | 65° | 對角互補，180 − 115 得 65°。 |
| 4 | ∠OTA = 62°，∠AOT = 124° | 切線垂直半徑，切線弦角等於另一弓形的圓周角 62°，故圓心角為其二倍 124°。 |
| 5 | 圓周角 60°，圓心角 120° | 設圓周角為 x，則 2x = x + 60，得 x = 60，圓心角 120°。 |
| 6 | 72° 與 108° | 對角和 180°，共 5 份，每份 36°，故 2 份是 72°、3 份是 108°。 |
| 7 | ∠ACB = 55°，∠ADB = 125° | 優弧上的圓周角是圓心角一半得 55°；同一弦兩側的圓周角互補，180 − 55 得 125°。 |
| 8 | ∠A = 102°，∠C = 78° | 外角與內角互補得 ∠A = 102°；圓內接四邊形的外角等於內對角，故 ∠C = 78°。 |
| 9 | ∠AOB = 130°，∠APO = 25° | 切線垂直半徑，四邊形 OAPB 的兩個直角令 ∠AOB = 180 − 50 = 130°；OP 平分 ∠APB 得 25°。 |
| 10 | 倍數倒轉了：同一段弧的圓心角是圓周角的兩倍，不是一半。 | 圓心角等於同弧圓周角的 2 倍，只有當圓周角為 0° 時兩者才會相等，故「一半」在任何情況下都不成立。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
