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中五數學：圓的幾何 第三份（半圓、等弦、切線長與逆定理）
中五數學：圓的幾何 第三份（半圓、等弦、切線長與逆定理）
第三份由半圓上的圓周角出發，加入等弦對等角與切線長相等的應用，再考「90° 圓周角反推直徑」這類逆定理。凡見到圓心角與弧的比例題，先用「弧佔全圓幾分之幾」換成角度，避免直接乘除出錯。所有角度由電腦核算。
快速答案 半圓內角 52°；等弦對等圓周角；切線長相等；90° 圓周角反推直徑；圓心角 84° 佔全圓 7/30；切線與弦夾 64° 得圓心角 128°；3x 與 2x 得 108° 與 72°；內交角 110°；外割角 60°；圓內接四邊形不一定為矩形。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：圓的幾何 |
| 適用年級 | 中五 |
02 題目（10 題）
- 基礎AB 是直徑，C 在圓上，∠ABC = 38°，求 ∠BAC。
- 基礎在同圓中，兩條弦相等，它們所對的圓周角有甚麼關是？
- 基礎從圓外一點 P 引兩條切線 PA、PB，PA = 7 cm，PB 是多少？
- 基礎C 在圓上，∠ACB = 90°，AB 是甚麼？
- 進階一段弧對的圓心角是 84°，這段弧佔全圓的幾分之幾？
- 進階切線與弦的夾角是 64°，求該弦所對的圓心角。
- 進階圓內接四邊形兩對角和為 180°，其中一角是 3x、對角是 2x，求這兩個角。
- 挑戰兩弦在圓內相交，所截兩弧為 150° 與 70°，求交角。
- 挑戰從圓外一點引兩條割線，大弧 160°、小弧 40°，求夾角。
- 錯題重練有同學說「圓內接四邊形一定是矩形」，錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 52°。 | 半圓上的圓周角是 90°，90 減 38 得 52。 |
| 2 | 相等。 | 等弦對等弧，等弧對等圓周角，三步連起來就是等弦對等圓周角。 |
| 3 | 7 cm。 | 同一點引出的兩條切線等長，所以 PB 也是 7 cm。 |
| 4 | AB 是直徑。 | 圓周角 90° 所對的弦必為直徑，這是半圓定理的逆定理。 |
| 5 | 7/30。 | 84 除以 360 得 84/360，約簡後是 7/30。 |
| 6 | 128°。 | 切線與弦的夾角等於另一弓形的圓周角 64°，圓心角是其兩倍 128°。 |
| 7 | 108° 與 72°。 | 3x 加 2x 等於 180 得 x = 36，所以是 108° 與 72°。 |
| 8 | 110°。 | 內交角等於兩弧和的一半，(150 加 70) 除以 2 得 110。 |
| 9 | 60°。 | 圓外夾角是兩弧差的一半，(160 減 40) 除以 2 得 60。 |
| 10 | 錯在多加條件；圓內接只要求對角和 180°，梯形甚至箏形也可以共圓。 | 矩形只是圓內接四邊形的一個特例，四角都是 90° 並非必要條件。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
