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中五數學：圓的幾何 第四份（四點共圓、弧比例與綜合交角）
中五數學：圓的幾何 第四份（四點共圓、弧比例與綜合交角）
第四份把前面三份的定理反過來用：由相等的圓周角證明四點共圓，由 90° 反推直徑，由切線長配合畢氏定理求長度。弧的比例題一律先化成圓心角，再取一半得圓周角。最後兩題用內交角與外割角公式反求未知弧。所有數值由電腦核算。
快速答案 等圓周角反推四點共圓；直徑 10 半徑 5；OP 13、r 5 得切線 12；圓周角 30° 得圓心角 60° 佔 1/6；兩弧 3:7 得 108°、252° 及 54°、126°；切線夾 70° 得底角 55°；外角 118° 得鄰角 62°；內交角 80° 反求另一弧 40°；兩切線夾 60° 得大弧 240°、小弧 120°；圓周角不可能 180°。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 25 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：圓的幾何 |
| 適用年級 | 中五 |
02 題目（10 題）
- 基礎四點 A、B、C、D 中，∠ACB 與 ∠ADB 在同側且相等，可以得出甚麼結論？
- 基礎圓的直徑是 10 cm，半徑是多少？圓周角最大可以是多少？
- 基礎P 在圓外，PT 是切線，T 為切點，OP = 13 cm、半徑 5 cm，求 PT。
- 基礎一段弧對的圓周角是 30°，求圓心角及這段弧佔全圓的比例。
- 進階兩段弧的比例是 3:7，合起來是全圓，求兩段弧的圓心角與所對的圓周角。
- 進階PA 與 PB 是兩條切線，∠APB = 70°，求 ∠PAB 及 ∠AOB。
- 進階圓內接四邊形的一個外角是 118°，求它的內對角與相鄰內角。
- 挑戰兩弦在圓內相交成 80°，其中一段弧是 120°，求另一段弧。
- 挑戰從圓外一點引兩條切線，夾角 60°，求兩切點之間的大弧與小弧。
- 錯題重練有同學說「圓周角最大可以到 180°，只要弧夠大」。錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | A、B、C、D 四點共圓。 | 同側相等圓周角代表它們站在同一段弧上，所以四點在同一個圓。 |
| 2 | 半徑 5 cm，最大 90°（不計極限）。 | 半徑是直徑一半；圓周角所對的弧最多接近半圓，所以上限是 90°。 |
| 3 | 12 cm。 | 切線垂直半徑造出直角三角形，13² 減 5² 得 144，開方得 12。 |
| 4 | 圓心角 60°，佔 1/6。 | 圓心角是 60°，60 除以 360 得 1/6。 |
| 5 | 圓心角 108° 與 252°，圓周角 54° 與 126°。 | 360 乘 3/10 得 108、乘 7/10 得 252，各取一半得 54 與 126。 |
| 6 | ∠PAB = 55°，∠AOB = 110°。 | 等腰三角形底角 (180 減 70)/2 得 55；圓心四邊形中兩個直角，所以 ∠AOB 是 180 減 70 得 110。 |
| 7 | 內對角 118°，相鄰內角 62°。 | 外角等於內對角，而同一直線上的相鄰角補足 180，180 減 118 得 62。 |
| 8 | 40°。 | 內交角是兩弧和的一半，所以兩弧和為 160，160 減 120 得 40。 |
| 9 | 大弧 240°、小弧 120°。 | 夾角是兩弧差的一半，所以差為 120；兩弧和為 360，解得 240 與 120。 |
| 10 | 錯在弧不可能等於整個圓；圓周角必定小於 180°。 | 圓周角是所對圓心角的一半，圓心角小於 360°，一半自然小於 180°。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
