DSE 數學｜排列與組合備課指引（導師用）

DSE 數學｜排列與組合備課指引（導師用）｜nPr、nCr、分組與限制

2026-11-01

學生一見「有多少種方法」就亂套公式，最常見是無序當有序，答案大幾倍。問題不在算術，在於沒有先問一句：調換次序算不算另一種？這一堂把「有序／無序」變成開題第一個動作，之後三類題同一個起手。

本堂目標　學生能夠：① 用一句話判斷題目有序還是無序；② 正確選 nPr 或 nCr 並寫出算式；③ 處理「某甲必須在內」「相鄰」「不可相鄰」三種限制；④ 用除法修正重複計數。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
階乘	n! 的意義與化簡	5! = 120，n!/(n−2)! = n(n−1)
乘法原理	分步就相乘	3 件衫 × 4 條褲 = 12 個配搭
加法原理	分類就相加	兩種互斥情況分開計再相加

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	有序定無序	一問定生死	調換次序＝另一種？
10–25 分	兩條公式	nPr 與 nCr 的關係	P(10,3)=720、C(10,3)=120
25–38 分	限制條件	先安置受限制的人	10 人選 3 人，甲必須在內
38–50 分	重複計數	相同物品要除	字母重複要除以重複數的階乘
50–56 分	混合題	分步相乘再分類相加	先分類，不可漏情況
56–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一個動作：問「調換次序算不算」

由 10 人中選 3 人做代表，與選 3 人排隊拍照，是兩條完全不同的題。排隊要計次序，答案 P(10,3) = 720；選代表不計次序，答案 C(10,3) = 120。差別就是 3! = 6 倍：720 ÷ 6 = 120。
所以每次開題先寫一句：「次序重要嗎？」寫完才准按計算機。要學生講：選班長、副班長、書記，是三種職位還是三個人？（職位不同＝有序。）

要學生做：把「5 人選 2 人」與「5 人排 2 個位」兩題分別寫出算式再對比。

第二幕：公式只用兩條，關係要講清

nPr = n! ÷ (n−r)!，nCr = n! ÷ [r!(n−r)!]，所以 nCr = nPr ÷ r!。例：C(13,5) = 1287，P(7,2) = 42。
不要叫學生背三條公式，只背一條：先當有序計，再決定除不除 r!。這樣連「分組後再排列」的混合題都不會亂：先分組（除以組數階乘），再乘組內排列。提醒：nCr 的對稱性 C(n,r) = C(n,n−r) 可以用來檢查，例如 C(13,5) 應等於 C(13,8) = 1287。

要學生計：C(10,3) 與 P(10,3) 相差幾倍？（6 倍，即 3!。）

第三幕：限制條件：先安置最麻煩的一個

「10 人選 3 人，甲必須在內」：先放甲，再由餘下 9 人選 2 人，答案 C(9,2) = 36，而不是 C(10,3) − 1。
「甲不可在內」就由餘下 9 人選 3 人。「三人相鄰」用捆綁法：把三人當一件，與其餘物件一起排，再乘 3!。「三人不可相鄰」用插空法：先排其他人，再把三人插入空隙。要學生講：捆綁法最後為甚麼要乘 3!？（因為綁住的三人在內部仍可互換。）

要學生做：把「甲必須在內」與「甲不可在內」兩題並排寫，檢查答案相加是否等於 C(10,3)。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
純組合	10 人選 3 人	不計次序 → nCr	120 種
純排列	10 人選 3 人排隊	計次序 → nPr	720 種
含限制	甲必須在內	先安置甲再選其餘	36 種
重複物品	PASSION 字母排列	除以重複字母階乘	7! ÷ (2!×2!)

合理性檢查（一定要教）：組合答案必定是整數，而且必定小於或等於同參數的排列數：120 ≤ 720。有懷疑就用對稱性驗算 C(n,r) = C(n,n−r)。分類討論的題目，各情況答案相加要等於無限制的總數；加起來不對就是漏了情況。「至少一個」用反面扣除最穩：總數 15600 減去完全不含元音的 7980。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
C(10,3) 的值	120	nCr = nPr ÷ 3!
P(7,2) 的值	42	7 × 6
10 人選 3 人，甲必須在內	36 種	先安置甲

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
無序當有序	選代表答 720	「選人唔關次序事，除返 3! 先啱。」
忘記除重複	BANANA 排法答 6!	「三個 A 一樣，唔除 3! 會重複計。」
限制條件用減一	甲必須在內答 119	「唔係減一個答案，係先安置甲再揀人。」
分類漏情況	只計相鄰，漏了不相鄰	「分兩類要兩類都寫，加埋先係總數。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　第 3、5 題同類型
備課指引總目錄　同科其他章節
小學數學測驗卷　乘法原理熱身

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
C(8,2) 的值	28	三題全對＝可進概率
5 人排 5 個位	120	錯一題＝下堂重講階乘
「至少一個」的處理方向	用總數減去沒有	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

nCr 與 nPr 幾時用邊條？

先問次序是否重要：重要用 nPr，不重要用 nCr；也可以用 nPr ÷ r! 一次過計。

為甚麼「甲必須在內」不是 C(10,3) − 1？

因為要扣的是「甲不在內」的全部情況 C(9,3)，不是一個答案。

分組之後為甚麼要除組數階乘？

因為三組互換位置不產生新分法，除以 3! 才不會重複計同一種分組。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。