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DSE 數學｜變分（正變、反變、聯變）備課指引（導師用）｜建模、求常數、求值
變分只有一個動作：先寫 k，再代數求 k，最後用 k 求答案。學生錯的地方永遠是漏寫 k 或者把正變反變掉轉。
本堂目標 學生能夠：① 由文字句寫出 y ＝ kx、y ＝ k／x 或 y ＝ kx² 這類關係；② 用一組已知值求出 k；③ 用 k 求新值，並用「一個升另一個應該升定跌」自我檢查。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 代入求未知數 | y ＝ kx，x ＝ 3、y ＝ 12，k 幾多 | k ＝ 4 |
| 分數運算 | k／12 ＝ 4，k 幾多 | 48 |
| 平方 | 7 的平方 | 49 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–5 分 | 診斷 | 三題快檢，確認代入與平方無問題 | 即場作答 |
| 5–18 分 | 示範正變 | 由「y 隨 x 平方正變」寫式、求 k、求值 | 跟做並寫出三步 |
| 18–32 分 | 示範反變 | 同一組數字改成反變，比較結果方向 | 口頭講出升跌方向 |
| 32–48 分 | 聯變與部分變 | 示範 z 同時受 x、y 影響的寫法 | 自行寫出關係式 |
| 48–60 分 | 錯誤糾正與離場檢查 | 講四個常見錯誤，抽問離場三題 | 口頭回答並自評 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：正變：寫 k 先，唔好直接比例
句子「y 隨 x 的平方正變」＝ y ＝ kx²。給一組數：x ＝ 4 時 y ＝ 48，先求 k：48 ＝ k×4²，所以 k ＝ 3。
再問 x ＝ 7 時 y 幾多：y ＝ 3×7² ＝ 147。
再問 x ＝ 7 時 y 幾多：y ＝ 3×7² ＝ 147。
強調：一定要先寫 k，直接寫 y ∝ x² 之後就代數，是最常見的失分位。
第二幕：反變：一個升，另一個跌
句子「y 隨 x 反變」＝ y ＝ k／x。給 x ＝ 8、y ＝ 6，k ＝ 8×6 ＝ 48。
再問 x ＝ 12 時：y ＝ 48÷12 ＝ 4。要學生講一句：「x 由 8 升到 12，y 由 6 跌到 4，方向對。」
再問 x ＝ 12 時：y ＝ 48÷12 ＝ 4。要學生講一句：「x 由 8 升到 12，y 由 6 跌到 4，方向對。」
提醒：答案方向錯就一定係把 k／x 寫成 kx，即刻回頭改。
第三幕：聯變與部分變：分清楚誰在分子
「z 隨 x 正變、隨 y 反變」寫成 z ＝ kx／y；「z 是 x 與 y 的聯變」寫成 z ＝ kxy。兩句只差一個位置，要學生圈出「反變」那個字。
做一題：z ＝ kx／y，x ＝ 2、y ＝ 3 時 z ＝ 8，則 k ＝ 12；問 x ＝ 4、y ＝ 6 時 z 幾多，答案仍是 8，正好用來講「兩個同時加倍，結果不變」。
做一題：z ＝ kx／y，x ＝ 2、y ＝ 3 時 z ＝ 8，則 k ＝ 12；問 x ＝ 4、y ＝ 6 時 z 幾多，答案仍是 8，正好用來講「兩個同時加倍，結果不變」。
強調：部分變（一部分正變、一部分不變）要寫成兩項相加，例如 y ＝ kx ＋ c，不能只寫一項。
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 正變求值 | y ∝ x²，x ＝ 4 時 y ＝ 48，求 x ＝ 7 時的 y | ① 寫 y ＝ kx² ② 求 k ③ 代新值 | 147 |
| 反變求值 | y ∝ 1／x，x ＝ 8 時 y ＝ 6，求 x ＝ 12 時的 y | ① 寫 y ＝ k／x ② k ＝ xy ③ 代新值 | 4 |
| 求常數 k | 已知一組對應值，求 k | ① 寫關係式 ② 代入 ③ 解出 k | k ＝ 48（反變例） |
| 聯變 | z ∝ x／y，求比值或新值 | ① 寫 z ＝ kx／y ② 求 k ③ 代新值 | 見第三幕例題 |
合理性檢查（一定要教）：正變的答案方向要一致：x 由 4 升到 7，y 由 48 升到 147，跌就是錯。
反變的 k 用 x 乘 y 求：8×6 ＝ 48，用除就會得到唔合理的細數。
計完 k 要代回原本那組數驗一次：把 x ＝ 4、k ＝ 3 代回 y ＝ kx² 得 48，對得上才繼續。
反變的 k 用 x 乘 y 求：8×6 ＝ 48，用除就會得到唔合理的細數。
計完 k 要代回原本那組數驗一次：把 x ＝ 4、k ＝ 3 代回 y ＝ kx² 得 48，對得上才繼續。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| y ∝ x，x ＝ 6 時 y ＝ 21，求 x ＝ 10 時的 y | 35 | 有無先求 k ＝ 3.5 |
| y ∝ 1／x，x ＝ 4 時 y ＝ 9，求 x ＝ 6 時的 y | 6 | 方向是否向下 |
| z ∝ x²／y，x ＝ 2、y ＝ 4 時 z ＝ 3，求 x ＝ 4、y ＝ 6 時的 z | 8 | k 是否為 3，平方有無漏 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 漏寫 k | 「y ＝ x²」直接代數 | 「要寫 y ＝ kx²，冇 k 就等於假設 k ＝ 1，除非題目講明。」 |
| 正變反變掉轉 | 「反變即係 y ＝ kx」 | 「反變是一個升另一個跌，寫成 y ＝ k／x；你想像 x 越大 y 越細就唔會掉轉。」 |
| k 用錯運算 | 反變題用 k ＝ y ÷ x | 「反變是 xy 固定，所以 k ＝ x 乘 y ＝ 48。」 |
| 聯變漏項 | 「z 隨 x 正變、隨 y 反變」寫成 z ＝ kxy | 「y 是反變，所以要放分母：z ＝ kx／y，兩個字要圈實。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
- 中學數學（DSE）備課指引索引 對照本章十節結構
- 校內 S5 變分練習卷 Paper 1 Q1–Q6（正變與反變）
- 校內 S5 變分練習卷 Paper 1 Q7–Q10（聯變與部分變）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 正變第一步寫什麼 | y ＝ kx（或 kx²） | 錯＝重寫關係式 |
| 反變的 k 怎樣求 | x 乘 y | 錯＝重做第二幕 |
| 「隨 y 反變」放分子定分母 | 分母 | 錯＝重讀第三幕 |
09 導師常問
要唔要背所有變分寫法？
不用背，記兩句：正變放分子、反變放分母，多個變數就逐個放。
學生唔識分辨部分變？
看句子有沒有「一部分不變」或出現加號，例如「y 是 x 的正變與常數之和」，就要寫 y ＝ kx ＋ c。
答案要不要寫單位？
要，應用題的 y 有單位就跟單位寫，DSE 漏單位會扣分。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。
