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中五數學 向量：分量運算與長度（第一份：基礎）
中五數學 向量：分量運算與長度（第一份：基礎）
由分量加減、純量乘法與長度入手，建立向量的基本運算習慣，十題附答案。
直接答案 本份集中分量運算與長度，全部答案由分量直接算出。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學 向量 |
| 適用年級 | 基礎 |
02 題目（10 題）
- 基礎已知向量 a = (3, 4)，求 |a|。
- 基礎已知 a = (2, 1)、b = (5, 7)，求 a + b。
- 基礎已知 a = (6, −4)，求 2a。
- 進階已知 a = (1, 2)、b = (4, −1)，求 a − b。
- 進階求與 (3, 4) 同方向的單位向量。
- 進階已知 A(1, 2)、B(4, 6)，求向量 AB 及其長度。
- 挑戰已知 a = (2, −3)、b = (−1, 5)，求 3a − 2b。
- 挑戰已知 a = (4, 3)、b = (3, −4)，求 a · b，並判斷兩向量關聯。
- 挑戰已知 a = (1, 2)、b = (4, 8)，問 b 是否為 a 的倍數？倍數是多少？
- 錯題重練有學生說 |a + b| 一定等於 |a| + |b|。這個說法錯在哪裡？請舉反例。
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 長度是分量平方和開方，9 加 16 得 25，開方為 5。 |
| 2 | (7, 8) | 向量加法逐個分量相加，2 加 5 得 7、1 加 7 得 8。 |
| 3 | (12, −8) | 純量乘法把每個分量乘大兩倍。 |
| 4 | (−3, 3) | 減法即加負向量，1 減 4 得負 3、2 減負 1 得 3。 |
| 5 | (3/5, 4/5) | 先求長度 5，再把兩個分量各除以 5。 |
| 6 | (3, 4)，長度 5 | AB 等於 B 減 A，再用分量求長度 3 與 4 得 5。 |
| 7 | (8, −19) | 3a 得 (6, −9)、2b 得 (−2, 10)，相減得 (8, −19)。 |
| 8 | a · b = 0，兩向量垂直 | 內積為 12 減 12 得 0，內積為零代表兩向量互相垂直。 |
| 9 | 是，b = 4a | 兩個分量都放大四倍，所以兩向量平行。 |
| 10 | 不一定相等，例如 a = (3, 0)、b = (0, 4) 時 |a + b| = 5 但 |a| + |b| = 7 | 只有同方向時才相等，不同方向時三角不等式成立。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。