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中五數學 向量：內積、平行與垂直（第二份：進階）
中五數學 向量：內積、平行與垂直（第二份：進階）
把內積用在平行、垂直與分點問題上，訓練由條件反推未知數，十題附答案。
直接答案 本份重點是內積與位置關聯，所有數值由分量直接計算。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學 向量 |
| 適用年級 | 進階 |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 a = (2, 5)、b = (3, −1)，求 a · b。
- 基礎已知 c = (3, 4)，求 c 的單位向量。
- 基礎已知 u = (2, −1) 與 v = (k, 4) 平行，求 k。
- 進階已知 a = (1, 2) 與 b = (k, 3) 垂直，求 k。
- 進階已知 d = (5, 12)，求 |d|。
- 進階已知 A(2, 1)、B(6, 7)，求線段 AB 的中點。
- 挑戰已知 A(0, 0)、B(8, 12)，點 P 在 AB 上且 AP : PB = 1 : 3，求 P 的坐標。
- 挑戰求 a = (1, 0) 與 b = (1, √3) 之間的夾角。
- 挑戰已知 a = (1, 2)、b = (3, 0)，求 |2a − b|。
- 錯題重練有學生說 a · b = 0 就一定代表 a 或 b 是零向量。錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 內積是對應分量相乘再相加，6 減 5 得 1。 |
| 2 | (0.6, 0.8) | 先取長度 5，再逐個分量除以 5。 |
| 3 | k = −8 | 平行即分量成比例，2 乘 4 等於負 1 乘 k，得 k 為負 8。 |
| 4 | k = −6 | 垂直即內積為零，k 加 6 等於零，所以 k 為負 6。 |
| 5 | 13 | 25 加 144 得 169，開方為 13。 |
| 6 | (4, 4) | 中點是兩點坐標的平均，2 與 6 得 4、1 與 7 得 4。 |
| 7 | (2, 3) | P 走了整條 AB 的四分之一，8 除 4 得 2、12 除 4 得 3。 |
| 8 | 60° | 內積為 1、|a| 為 1、|b| 為 2，cos 等於 0.5 即 60 度。 |
| 9 | 約 4.12（√17） | 2a 得 (2, 4)，減 b 得 (−1, 4)，長度為 17 的開方約 4.12。 |
| 10 | 不一定，也可以是兩向量垂直 | 零向量內積為零，但垂直的非零向量內積同樣為零。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。