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中五數學 向量：綜合應用（第三份：挑戰）
中五數學 向量：綜合應用（第三份：挑戰）
以分點、夾角與平方展開處理綜合題，數值全部由分量與三角函數算出。
直接答案 本份把向量與幾何結合，答案同時列出精確值與近似值。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學 向量 |
| 適用年級 | 挑戰 |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 A(1, 2)、B(5, 10)，P 在 AB 上且 AP : PB = 3 : 1，求 P 的坐標。
- 基礎三角形 ABC 中 A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 8)，求 AB · AC 及三角形面積。
- 基礎已知 a = (2, 1)、b = (1, −2)，求 a · b 及 |a + b|。
- 進階已知 a = (1, 2)、b = (3, 1)，求 t 使 a + t b 與 a 垂直。
- 進階已知 |a| = 3、|b| = 4，夾角 60°，求 a · b 及 |a + b|。
- 進階已知 |a| = 2、|b| = 5、a · b = −8，求兩向量夾角。
- 挑戰已知 A(1, 1)、B(5, 3)、C(3, 7)，求角 BAC。
- 挑戰平行四邊形 ABCD 中 A(0, 0)、B(4, 1)、D(1, 3)，求 C 及對角線交點。
- 挑戰求一個與 (3, 4) 垂直的單位向量。
- 錯題重練有學生由 a · b = a · c 直接得出 b = c。這個推論錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | (4, 8) | P 走了全段四分之三，橫向加 3、縱向加 6。 |
| 2 | AB · AC = 0，面積 24 | 兩向量分別沿兩軸，內積為零代表直角；面積為 6 乘 8 除 2。 |
| 3 | a · b = 0，|a + b| 約 3.16（√10） | 內積 2 減 2 得零；a + b 為 (3, −1)，長度約 3.16。 |
| 4 | t = −1 | 內積展開為 |a|² 加 t 乘 a · b，即 5 加 5t 等於零。 |
| 5 | a · b = 6，|a + b| 約 6.08（√37） | 內積為 3 乘 4 乘 0.5 得 6；平方展開 9 加 16 加 12 得 37。 |
| 6 | 約 143.13° | cos 等於負 8 除 10 得負 0.8，取反餘弦得約 143.13 度。 |
| 7 | 45° | AB 與 AC 內積 20，長度分別為 √20 與 √40，cos 約 0.7071。 |
| 8 | C(5, 4)，交點 (2.5, 2) | C 等於 B 加 D，交點是 A 與 C 的中點。 |
| 9 | (−0.8, 0.6) | 把分量對調並變號得 (−4, 3)，再除以長度 5。 |
| 10 | 不能消去 a；只能得出 a 與 b − c 垂直 | 移項得 a · (b − c) 等於零，只表示 a 垂直於差向量。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。