中五物理｜圓周運動備課指引（導師用）｜角速度、向心加速度、向心力與轉彎

2026-11-01

學生以為「向心力」是另一種力，於是畫多一支箭頭；這一堂要他們明白向心力只是一個角色，由現成的力（張力、摩擦力、重力）兼職。

本堂目標　學生能夠：① 由週期算出角速度 ω 與線速度 v，並講出 v = ωr 的關係；② 用 a = v²/r = ω²r 算向心加速度，指出它永遠指向圓心；③ 指出圓周運動中哪一個真實的力提供向心力，並在豎直圓周最高點用 mg = mv²/r 求最小速率。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
速率與速度	速度有方向，方向變即速度變	勻速圓周仍然有加速度
牛頓第二定律	F = ma	F = 37.0 N
向量加減	速度向量首尾相接	Δv 指向圓心

02　課堂流程（50 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	角度與弧度	一圈 = 2π rad	ω = 7.85 rad/s
8–18 分	線速度	r = 1.5 m，T = 0.8 s	v = 11.78 m/s
18–30 分	向心加速度	v 與 r	a = 92.5 m/s²
30–40 分	向心力由誰提供	m = 0.4 kg	F = 37.0 N
40–46 分	豎直圓周最高點	r = 1.5 m	v_min = 3.84 m/s
46–50 分	離場檢查	三題即場判	獨立作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：角速度：先講「幾快轉一圈」

週期 T = 0.8 s 即 1.25 Hz，也就是每秒轉 1.25 圈，換成每分鐘 75 轉。角速度 ω = 2π/T = 7.85 rad/s，意思是每秒掃過 7.85 弧度。
弧度不是多餘的單位：只有用弧度，弧長 s = rθ 與 v = ωr 才成立。如果學生用度數代入 v = ωr，答案會細 57 倍左右，因為 1 rad ≈ 57.3°。要他們習慣先寫「一圈 = 2π rad」，再寫週期。

要學生做：把 T = 0.8 s 換成 ω、f、rpm 三個數，並講出三個數各自的意義。

第二幕：線速度與向心加速度：方向才是難點

v = ωr = 7.85 × 1.5 = 11.78 m/s。速率不變，但方向不停變，所以速度在變，所以有加速度。a = v²/r = 11.78² / 1.5 = 92.5 m/s²，也可以寫成 ω²r，兩條式結果一樣。
這裡最容易出錯的是把 a 畫成沿切線。要學生記：Δv 是「新速度減舊速度」，兩支向量首尾相接，相減的結果指向圓心，所以加速度指向圓心，叫向心加速度。順便講數量級：92.5 m/s² 大約是 9.4 g，比重力加速度大得多，所以轉彎時人會被壓向一邊。

要學生做：畫出圓上兩點的速度向量，用向量相減畫出 Δv，指出它指向圓心。

第三幕：向心力：問「邊個力做這件事」

向心力不是新一種力，它是「需要多少指向圓心的合力」。F = ma = 0.4 × 92.5 = 37.0 N。然後一定要問：這個力由誰提供？繩波是張力、轉彎是靜摩擦力、衛星是重力、過山車是重力加法向力。例如汽車以 14 m/s 轉 r = 40 m 的彎，需要 a = 4.9 m/s²，即輪胎與路面之間的摩擦係數至少要 0.50，落雨路面達不到就會滑出去。
若學生答「有離心力推他出去」，要纠正：在慣性參考系裡沒有離心力，人感覺被推向外，是因為慣性想走直線。豎直圓周最高點：mg = mv²/r，v_min = √(gr) = √(9.81 × 1.5) = 3.84 m/s，慢過這個數就會離開軌道。

要學生做：為三個情境（繩波、轉彎、衛星）各寫出「向心力由＿＿提供」，並計出數值。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
由週期求 v 與 a	r = 1.5 m，T = 0.8 s	ω = 2π/T → v = ωr → a = v²/r	v = 11.78 m/s，a = 92.5 m/s²
由轉速求向心力	m = 0.4 kg，75 rpm	ω = 2πf → F = mω²r	F = 37.0 N
轉彎最小摩擦係數	v = 14 m/s，r = 40 m	μ = v²/(rg)	μ = 0.50
豎直圓周最高點	r = 1.5 m	mg = mv²/r	v_min = 3.84 m/s

合理性檢查（一定要教）：向心加速度 92.5 m/s² 是 9.4 g，對 1.5 m 半徑、0.8 s 週期來說合理；若學生算出 9.2 或 924，就是漏了小數點或用了度數。最小速率 3.84 m/s 必定細過實際速率 11.78 m/s，否則繩子一早鬆了。摩擦係數 0.50 落在 0 到 1 之間才現實，大過 1 代表數據有問題。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
r = 0.5 m，T = 0.4 s，求 v 與 a。	v = 7.85 m/s，a = 123.4 m/s²	先算 ω = 15.71 rad/s
m = 0.2 kg 以 120 rpm 在半徑 0.3 m 轉，求 F。	F ≈ 9.5 N	f = 2 Hz，ω = 12.57
豎直圓周 r = 0.8 m，最高點最小速率？	2.80 m/s	√(9.81 × 0.8)

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
向心力是額外一支力	受力圖畫出「向心力」箭頭，同時又畫張力	「向心力唔係多一支力，係問邊一支現成嘅力負責指向圓心。」
勻速圓周沒有加速度	寫「速率不變所以 a = 0」	「速率冇變，但方向變，速度就變，所以一定有加速度。」
用度數代 ω	ω = 360/T 再乘 r	「ω 一定要用弧度，一圈係 2π，唔係 360。」
向心加速度畫成切線	a 箭頭沿速度方向	「Δv 指向圓心，所以 a 指向圓心；切線方向嘅係速度，唔係加速度。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學物理章節索引（運動、力、波動、電學）　先做圓周運動再做引力
中學備課指引總覽　全科索引

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
T = 0.5 s，ω 是多少？	12.57 rad/s	錯＝重講第一幕
向心加速度方向指向哪裡？	圓心	錯＝重講第二幕
豎直圓周最高點為何會掉下來？	v 低於 √(gr)，法向力不足	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中五，DSE 物理「力與運動」單元的圓周運動部分；中四下學期也可先用。

要背幾多條公式？

四條：ω = 2π/T、v = ωr、a = v²/r = ω²r、F = ma；其餘由這四條推。

有無配套練習？

家課欄連到物理章節索引，可配引力與波動章節順序排。

立即免費搵導師導師登記 →

本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。