DSE 數學｜數學歸納法與二項式定理備課指引（導師用）

DSE 數學｜數學歸納法與二項式定理備課指引（導師用）｜三步證明、一般項與係數計算

2026-11-02

學生一見「證明對所有正整數成立」就空白，一見二項式就逐項乘開。這一堂把兩件事都變成表格：歸納法三個格子，二項式一個一般項，之後全部題目都是填格。

本堂目標　學生能夠：① 寫齊數學歸納法三步，並指出為何缺一步就唔算證明；② 用假設代換的手法處理整除型命題；③ 由一般項 T 等於 C(n,r) a 的 n 減 r 次方 b 的 r 次方，算出指定次方的係數、常數項與係數和。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
指數律	9 的 k 加 1 次方怎樣拆	9 乘 9 的 k 次方
組合數	C(n,r) 怎樣算	C(7,3) 等於 35
多項式	同類項合併	係數相加

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–12 分	歸納法三步	P(1)、假設 P(k)、證 P(k+1)	寫齊三個格子
12–24 分	求和例	1 加到 n，用假設加最後一項	算出 5050
24–36 分	整除例	抽出 9 的 k 次方代換	寫成 8 乘整數
36–48 分	二項式一般項	T 等於 C(n,r) a 的 n 減 r 次方 b 的 r 次方	寫出 x 三次方的係數 280
48–56 分	常數項與係數和	指數等於 0；代 x 等於 1	算出 20 與 2,187
56–60 分	離場檢查	三題收回即場批	三題全對

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：歸納法是三格表格，不是一段文字

第一步：驗證 P(1)。第二步：假設 P(k) 成立。第三步：用第二步的假設證 P(k+1)。
例：證明 1 加到 n 等於 n(n+1)/2。P(1) 左邊 1，右邊 1 乘 2 除 2 等於 1。
假設 1 加到 k 等於 k(k+1)/2，則 1 加到 k+1 等於 k(k+1)/2 加 (k+1)，等於 (k+1)(k+2)/2，正是把 n 換成 k+1 的結果。
所以 1 加到 100 等於 5050。
最常見的失分：第二步寫「假設 P(n) 成立」，然後第三步又證 P(n)——同一個字母既假設又證明，等於循環論證。

要學生講：假設用邊個字母，結論用邊個字母（假設 k，結論 k+1）。

第二幕：整除型：把假設當成一塊積木換入去

證明 9 的 n 次方減 1 可被 8 整除。P(1)：9 減 1 等於 8，等於 8 乘 1。
假設 9 的 k 次方減 1 等於 8m。則 9 的 k 加 1 次方減 1 等於 9 乘 9 的 k 次方減 1，代 9 的 k 次方等於 8m 加 1，得 9(8m 加 1) 減 1 等於 72m 加 8 等於 8(9m 加 1)。
因為 9m 加 1 是整數，命題對 k+1 成立。
驗算 n 等於 3：9 的三次方減 1 等於 728，等於 8 乘 91。
技巧只有一句：把 9 的 k 次方整塊換成假設的樣子，不要展開。

要學生講：9 的 k 加 1 次方要拆成乜（9 乘 9 的 k 次方）。

第三幕：二項式：寫一般項，不要逐項乘開

一般項 T 等於 C(n,r) 乘 a 的 n 減 r 次方乘 b 的 r 次方。
(1 加 2x) 的 7 次方：x 三次方的係數是 C(7,3) 乘 2 的三次方，即 35 乘 8 等於 280；x 二次方係數是 C(7,2) 乘 4 等於 84。
(x 加 1 除 x) 的 6 次方：常數項要 x 的指數等於 0，即 r 等於 3，係數 C(6,3) 等於 20。
係數和：把 x 等於 1 代入，得 3 的 7 次方等於 2,187。
「係數」同「項」要分：x 三次方的係數是 280，x 三次方項是 280x³。

要學生講：求常數項時 r 由邊條式定（指數等於 0）。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
證明	歸納法三步	P(1)、假設 P(k)、證 P(k+1)	三步齊全才給分
證明	整除型	假設寫成 8m，代換 9 的 k 次方	寫成 8 乘整數
計算	指定次方係數	T 等於 C(n,r) a 的 n 減 r 次方 b 的 r 次方	x 三次方係數 280
計算	常數項與係數和	指數等於 0 定 r；代 x 等於 1 求係數和	20 與 2,187

合理性檢查（一定要教）：歸納法三步缺一不可，尤其 P(1)：冇起點，後面幾靚都係循環論證。
假設與結論的字母要分開，假設 k、結論 k+1；同一個字母出現在兩邊就係抄答案。
二項式係數對稱：C(7,3) 等於 C(7,4) 等於 35，算出嚟唔對稱就一定錯。
常數項不一定在中間：指數方程解出的 r 要落在 0 到 n 之間，r 大過 n 就代表冇常數項。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
1 加到 100 等於幾多	5050	n(n+1) 除 2
9 的三次方減 1 是否可被 8 整除	728 等於 8 乘 91	驗算第一步
(1 加 2x) 的 7 次方中 x 三次方的係數	280	C(7,3) 乘 8

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
假設與結論用同一字母	「假設 P(n) 成立，證明 P(n)」	「假設用 k，要證的是 k+1，兩個字母一定要分開。」
省掉 P(1)	「假設成立就得」	「冇 P(1) 就冇起點，成條鏈斷，零分。」
把係數當成項	「答案 280x³」但題目問係數	「問係數就只寫 280，問項才寫 280x³。」
常數項亂設 r 等於 0	「常數項就是第一項」	「要解指數等於 0，(x 加 1 除 x) 的 6 次方係 r 等於 3。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

練習：數學歸納法三步書寫　三個格子逐格填
練習：二項式一般項與係數　先寫 T 再代數字
全部備課指引　對照十節結構

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
1 加到 100	5050	三題全對＝可進進階組合
(1 加 2x) 的 7 次方 x 三次方係數	280	錯一題＝下堂前重寫一般項
(x 加 1 除 x) 的 6 次方常數項	20	錯兩題以上＝回到第三幕

09　導師常問

歸納法一定要寫文字解釋嗎？

要，尤其「由假設推出 k+1」那一步要寫理由；只寫算式唔寫「所以命題成立」會失分。

二項式要背展開式嗎？

不必，背一般項就夠；展開式在 n 小的時候可以用來驗算。

係數和為何代 x 等於 1？

因為每項的 x 都變成 1，剩低的正好是所有係數相加。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。