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中六數學 定積分與面積：曲線下面積（第二份：進階）
中六數學 定積分與面積：曲線下面積（第二份：進階）
十題曲線下面積與兩曲線之間面積，先找交點再定上下限，附答案與解說。
直接答案 第 1 至 10 題答案依次為 8/3、1/6、4/3、2、32/3、4/3、1、4/3、1/2、1/6。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 定積分與面積 |
| 適用年級 | 中六 |
02 題目（10 題）
- 基礎求曲線 y = x² 與 x 軸在 x = 0 至 x = 2 之間的面積。
- 基礎求曲線 y = x² 與直線 y = x 所圍成的面積。
- 基礎計算 ∫₀¹ (x² + 1) dx。
- 進階計算 ∫₁⁴ (1/√x) dx。
- 進階求曲線 y = 4 − x² 與 x 軸所圍成的面積。
- 進階求曲線 y = x² 與直線 y = 2x 所圍成的面積。
- 挑戰計算 ∫₀^(π/2) cos x dx。
- 挑戰求曲線 y = x² − 4x + 3 與 x 軸在 x = 1 與 x = 3 之間所圍成的面積。
- 挑戰求曲線 y = 1/x² 與 x 軸在 x = 1 與 x = 2 之間的面積。
- 錯題重練錯題重練：有學生用 ∫₀¹ (x² − x) dx 得 −1/6，並答面積為 −1/6。正確面積是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 8/3（約 2.67） | 面積是 ∫₀² x² dx，原函數 x³/3 得 8/3。 |
| 2 | 1/6（約 0.17） | 兩線交於 x = 0 與 x = 1，積分 x − x² 得 1/2 − 1/3 = 1/6。 |
| 3 | 4/3 | 原函數是 x³/3 + x，1/3 加 1 得 4/3。 |
| 4 | 2 | 1/√x 的原函數是 2√x，代入 4 得 4、代入 1 得 2。 |
| 5 | 32/3（約 10.67） | 交 x 軸於正負 2，對稱面積為 2 乘 ∫₀² (4 − x²) 得 32/3。 |
| 6 | 4/3 | 交於 0 與 2，積分 2x − x² 得 4 − 8/3 = 4/3。 |
| 7 | 1 | 原函數是 sin x，上限得 1、下限得 0。 |
| 8 | 4/3 | 曲線在此區間位於 x 軸下方，積分得 −4/3，面積取 4/3。 |
| 9 | 1/2 | 原函數是 −1/x，代入 2 與 1 得 −1/2 與 −1，相差 1/2。 |
| 10 | 1/6 | 面積要取絕對值，1/6 才是面積，負號只表示曲線在 x 軸下方。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。