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中六數學 定積分與面積：綜合應用（第三份：挑戰）
中六數學 定積分與面積：綜合應用（第三份：挑戰）
十題定積分綜合應用，含未知上限、平均值與對稱區間的面積陷阱。
直接答案 第 1 至 10 題答案依次為 4、2 + π、9/2、3、4、3、8、32/3、0.807、1/2。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 定積分與面積 |
| 適用年級 | 中六 |
02 題目（10 題）
- 基礎求曲線 y = x³ 與 x 軸在 x = 0 至 x = 2 之間的面積。
- 基礎計算 ∫₀^π (sin x + 1) dx。
- 基礎求直線 y = 3x 與曲線 y = x² 所圍成的面積。
- 進階已知 ∫₀^a x² dx = 9，且 a > 0，求 a。
- 進階已知 ∫₀^k 2x dx = 16，且 k > 0，求 k。
- 進階求函數 f(x) = x² 在區間 [0, 3] 上的平均值。
- 挑戰求曲線 y = x³ 與直線 y = 4x 所圍成區域的總面積。
- 挑戰求曲線 y = x² 與直線 y = 2x + 3 所圍成的面積。
- 挑戰計算 ∫₁² (x − 1/x) dx，答案取三位小數。
- 錯題重練錯題重練：有學生算 ∫₋₁¹ x³ dx 得 0，並答面積為 0。正確面積是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 面積是 ∫₀² x³ dx，原函數 x⁴/4 得 4。 |
| 2 | 2 + π（約 5.14） | sin x 的積分得 2，常數 1 的積分得 π，相加為 2 + π。 |
| 3 | 9/2（即 4.5） | 交於 0 與 3，積分 3x − x² 得 13.5 − 9 = 4.5。 |
| 4 | 3 | 原函數 x³/3 得 a³/3 = 9，所以 a³ = 27，取 a = 3。 |
| 5 | 4 | 原函數 x² 得 k² = 16，取正根得 k = 4。 |
| 6 | 3 | 平均值等於積分除以區間長度，9 除以 3 得 3。 |
| 7 | 8 | 交於 0 與正負 2，兩塊對稱，每塊 4，總面積 8。 |
| 8 | 32/3（約 10.67） | 交於 x = −1 與 x = 3，積分 3 + 2x − x² 得 9 減 −5/3 等於 32/3。 |
| 9 | 0.807 | 原函數 x²/2 − ln x，1.5 − 0.693 約 0.807。 |
| 10 | 1/2 | 奇函數在對稱區間積分為 0，但左右兩塊面積要相加，得 2 乘 1/4 = 1/2。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
遇到未知上限就先寫出積分式，再解方程，不要憑感覺猜。導師登記 →
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。