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A-Level 進階數學操卷方法＋歷屆試題（Paper 3）：進階力學、拋體、圓周運動附答案
TUTORZONE 原創操卷模擬卷 · 劍橋 A-Level 進階數學 (9231) Paper 3 進階力學
依劍橋 9231 課程（2026–2027）編寫：Paper 3 進階力學為 50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題，佔 AS Level 40%、A Level 20%。AS Level 只需 Paper 1 加 Paper 3 或 Paper 4；本卷 5 題共 50 分，附模擬答案與操卷技巧。
問：A-Level 進階數學 (9231) Paper 3 佔幾多分、幾長？
直接答案：Paper 3 進階力學：50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題，佔 AS Level 40%、A Level 20%（劍橋 9231，2026–2027）。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（進階純數 1） | 6–8 題結構題，75 分 | 60% AS / 30% A Level | 2 小時 |
| Paper 2（進階純數 2） | 7–9 題結構題，75 分 | 30% A Level | 2 小時 |
| Paper 3（進階力學） | 5–7 題結構題，50 分 | 40% AS / 20% A Level | 1 小時 30 分鐘 |
| Paper 4（進階機率與統計） | 5–7 題結構題，50 分 | 40% AS / 20% A Level | 1 小時 30 分鐘 |
Paper 3 操卷技巧：全卷 1 小時 30 分鐘 5 題，平均每題約 18 分鐘。先做拋體與虎克定律（公式直接代入），再做圓周運動與碰撞，最後處理變力運動的微分方程。必記：H = u_y²/(2g)、T = 2u_y/g、T = λx/l、EPE = λx²/(2l)、e = 分離速率/接近速率、豎直圓最低點 v² = 5gr。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創操卷模擬卷：題目按劍橋 9231 進階數學的卷制（Paper 3 進階力學：50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題、20% A-Level）自行編寫，答案為自行演算，並非劍橋歷屆試題或官方評卷參考。
所有數值答案均由程式重新計算並核對，作為操卷後的自我檢查基準。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（進階純數 1） | 60% AS / 30% A Level | 每題約 18 分鐘 | 多項式根、級數、矩陣、極坐標、向量、歸納法 |
| Paper 2（進階純數 2） | 30% A Level | 每題約 16 分鐘 | 雙曲函數、特徵值、級數展開、複數、微分方程 |
| Paper 3（進階力學） | 40% AS / 20% A Level | 每題約 15 分鐘 | 拋體運動、剛體平衡、圓周運動、虎克定律、動量 |
| Paper 4（進階機率與統計） | 40% AS / 20% A Level | 每題約 15 分鐘 | 連續隨機變數、t 檢定、卡方檢定、無母數檢定、機率母函數 |
問：本卷五題分別考什麼？
直接答案：拋體運動（最高點、飛行時間、射程）、彈性繩的虎克定律與彈性位能、水平與豎直圓周運動、碰撞的動量與恢復係數、變力下的直線運動。
Paper 3：進階力學操卷（5 題，50 分）
五題覆蓋進階力學的主要課題：拋體運動、虎克定律、圓周運動、動量與恢復係數、變力下的直線運動。全卷取 g = 9.8 m/s²。
第 1 題 （12 分）
質點自地面以 25 m/s、與水平成 30° 射出（取 g = 9.8 m/s²，不計空氣阻力）。(a) 求最高點的高度與飛行時間。（7 分）(b) 求水平射程。（5 分）
第 2 題 （10 分）
一條輕質彈性繩自然長 0.8 m、彈性模數 λ = 24 N，上端固定，下端掛上 2 kg 的質點並在鉛垂方向達平衡（g = 9.8 m/s²）。(a) 求繩的伸長量。（5 分）(b) 求繩的彈性位能。（5 分）
第 3 題 （10 分）
質量 0.5 kg 的質點以輕繩在半徑 1.2 m 的水平圓上以 6 m/s 勻速轉動。(a) 求繩的張力與角速度。（4 分）(b) 若同一直徑 1.2 m 的豎直圓用光滑管道約束質點，求質點在最高點不會離軌的最小速度，以及在最低點所需的最小速度。（6 分）
第 4 題 （10 分）
兩個光滑球 A（2 kg）與 B（3 kg）在同一條直線上相向運動，速率分別為 4 m/s 與 2 m/s。碰撞後 A 以 1 m/s 反向彈回（取 A 原方向為正）。(a) 求 B 碰撞後的速度。（4 分）(b) 求碰撞的恢復係數。（3 分）(c) 求碰撞中損失的動能。（3 分）
第 5 題 （8 分）
質量 2 kg 的質點沿直線運動，受到大小為 4v N 的阻力（v 為速度，方向與運動相反）。質點在 t = 0 時的速度為 20 m/s。(a) 證明 v = 20e^(−2t)。（5 分）(b) 求 t = 1 s 時的速度，以及質點在這 1 秒內走過的距離。（3 分）
問：25 m/s、30° 射出的質點最高點有多高？
直接答案：u_y = 25sin30° = 12.5 m/s，最高點高度 = u_y²/(2g) = 12.5²/19.6 = 7.97 m。
Paper 3 模擬答案
第 1 題
(a) u_x = 25cos30° = 21.65 m/s、u_y = 25sin30° = 12.5 m/s；最高點高度 = u_y²/(2g) = 7.97 m，飛行時間 = 2u_y/g = 2.55 s。(b) 水平射程 = u_x × T = 21.65 × 2.55 = 55.2 m（亦可用 u²sin2θ/g = 55.2 m）。
第 2 題
(a) 平衡時 mg = λx/l，故 x = mgl/λ = (2 × 9.8 × 0.8)/24 = 0.653 m。(b) 彈性位能 = λx²/(2l) = (24 × 0.653²)/(2 × 0.8) = 6.40 J（亦等於 mgx/2）。
第 3 題
(a) 張力 = mv²/r = (0.5 × 36)/1.2 = 15 N；角速度 ω = v/r = 5 rad/s。(b) 最高點最小速度 = √(gr) = √11.76 = 3.43 m/s；最低點最小速度 = √(5gr) = √58.8 = 7.67 m/s。
第 4 題
(a) 動量守恆：2 × 4 + 3 × (−2) = 2；2 × (−1) + 3v = 2，故 v = 4/3 ≈ 1.33 m/s（B 反向離去）。(b) e = (分離速率)/(接近速率) = (4/3 + 1)/(4 + 2) = 7/18 ≈ 0.389。(c) 動能由 22 J 降至 11/3 ≈ 3.67 J，損失 = 18.3 J。
第 5 題
(a) 2 dv/dt = −4v，即 dv/dt = −2v，積分得 v = 20e^(−2t)。(b) v(1) = 20e^(−2) = 2.71 m/s；距離 = ∫₀¹ 20e^(−2t) dt = 10(1 − e^(−2)) = 8.65 m。
問：這份卷有幾題、幾多分？
直接答案：5 題，共 50 分，與 Paper 3 的 50 分一致；建議用 1 小時 30 分鐘完成。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 拋體用錯分量 | 用 u 而非 u_y 求最高點 | 豎直方向只用 u_y = u sinθ | 7.97 m |
| 虎克定律與彈簧混用 | 寫成 F = kx 而沒有除以自然長 | 彈性繩用 T = λx/l | 0.653 m |
| 豎直圓條件記錯 | 最低點用 v² = gr | 最低點需要 v² = 5gr | 7.67 m/s |
| 恢復係數寫反 | e = 接近速率/分離速率 | e = 分離速率/接近速率 | 7/18 |
| 變力運動漏質量 | 寫 dv/dt = −4v | 要寫 m dv/dt = −4v，即 dv/dt = −2v | 2.71 m/s |
怎樣用這份卷
第一次操卷：完整計時 1 小時 30 分鐘，5 題全做，只用 MF19 公式表。
對答案：核對每題的受力圖、正負方向與單位。
第二次操卷：三至七日後重做，目標 70 分鐘內完成。
問：操完 Paper 3 之後應該做什麼？
直接答案：①把受力圖與符號錯誤抄入錯題本；②三至七日後重做；③接續操 Paper 4 進階機率與統計，或回頭鞏固 Paper 1、Paper 2。
常見問題 FAQ
這份卷同劍橋歷屆試題有關嗎？
沒有。本卷不是劍橋歷屆試題：題目與答案都是 TutorZone 原創，並非官方評卷參考。
A-Level 進階數學 9231 Paper 3 考什麼？
進階力學：拋體運動、剛體平衡、圓周運動、虎克定律、變力下的直線運動與動量；50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題。
Paper 3 在 AS 與 A-Level 各佔多少？
Paper 3 佔 AS Level 40%、A Level 20%；AS Level 是 Paper 1 加 Paper 3 或 Paper 4。
這卷用 g = 9.8 還是 10？
本卷採用劍橋常用的 g = 9.8 m/s²，每題都會在題目內註明。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| 劍橋 A-Level 進階數學 9231 課程（2026–2027） | 核對 Paper 1–4 的分數、時間與比重 |
| https://www.tutorzone.com.hk/alevel-further-mathematics-9231-paper-4-mock-2027/ | A-Level 進階數學 Paper 4 操卷模擬卷 |
同系列：備考練習題總覽｜A-Level 進階數學 Paper 1 操卷模擬卷｜A-Level 進階數學 Paper 4 操卷模擬卷
