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A-Level 進階數學操卷方法＋歷屆試題（Paper 4）：連續隨機變數、t 檢定、卡方檢定附答案
TUTORZONE 原創操卷模擬卷 · 劍橋 A-Level 進階數學 (9231) Paper 4 進階機率與統計
依劍橋 9231 課程（2026–2027）編寫：Paper 4 進階機率與統計為 50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題，佔 AS Level 40%、A Level 20%。AS Level 只需 Paper 1 加 Paper 3 或 Paper 4；本卷 5 題共 50 分，附模擬答案與操卷方法。
問：A-Level 進階數學 (9231) Paper 4 佔幾多分、幾長？
直接答案：Paper 4 進階機率與統計：50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題，佔 AS Level 40%、A Level 20%（劍橋 9231，2026–2027）。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（進階純數 1） | 6–8 題結構題，75 分 | 60% AS / 30% A Level | 2 小時 |
| Paper 2（進階純數 2） | 7–9 題結構題，75 分 | 30% A Level | 2 小時 |
| Paper 3（進階力學） | 5–7 題結構題，50 分 | 40% AS / 20% A Level | 1 小時 30 分鐘 |
| Paper 4（進階機率與統計） | 5–7 題結構題，50 分 | 40% AS / 20% A Level | 1 小時 30 分鐘 |
Paper 4 操卷技巧：全卷 1 小時 30 分鐘 5 題，平均每題約 18 分鐘。先做機率母函數與符號檢定（計算短），再做 χ² 檢定與 t 區間，最後處理連續隨機變數的積分。必記：∫f(x)dx = 1、E(X) = ∫xf(x)dx、Var(X) = G″(1) + G′(1) − [G′(1)]²、信賴區間 = 平均值 ± t × 標準誤。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創操卷模擬卷：題目按劍橋 9231 進階數學的卷制（Paper 4 進階機率與統計：50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題、20% A-Level）自行編寫，答案為自行演算，並非劍橋歷屆試題或官方評卷參考。
所有數值答案均由程式重新計算並核對，作為操卷後的自我檢查基準。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（進階純數 1） | 60% AS / 30% A Level | 每題約 18 分鐘 | 多項式根、級數、矩陣、極坐標、向量、歸納法 |
| Paper 2（進階純數 2） | 30% A Level | 每題約 16 分鐘 | 雙曲函數、特徵值、級數展開、複數、微分方程 |
| Paper 3（進階力學） | 40% AS / 20% A Level | 每題約 15 分鐘 | 拋體運動、剛體平衡、圓周運動、虎克定律、動量 |
| Paper 4（進階機率與統計） | 40% AS / 20% A Level | 每題約 15 分鐘 | 連續隨機變數、t 檢定、卡方檢定、無母數檢定、機率母函數 |
問：本卷五題分別考什麼？
直接答案：連續隨機變數的密度、平均數與方差、常態平均的 t 信賴區間、χ² 適合度檢定、無母數符號檢定、機率母函數求平均數與方差。
Paper 4：進階機率與統計操卷（5 題，50 分）
五題覆蓋進階機率與統計的主要課題：連續隨機變數、常態與 t 分布推論、χ² 檢定、無母數的符號檢定、機率母函數。
第 1 題 （12 分）
連續隨機變數 X 的機率密度函數為 f(x) = kx²（0 ≤ x ≤ 3），其他情況 f(x) = 0。(a) 求 k。（3 分）(b) 求 E(X) 與 Var(X)。（6 分）(c) 求 P(X > 2)。（3 分）
第 2 題 （10 分）
由正態分布抽出 12 個觀測值，樣本平均 24.6、樣本標準差 1.8。已知 95% 信賴區間所用的 t 值（11 自由度）為 2.201。(a) 求母體平均 μ 的 95% 信賴區間。（7 分）(b) 解釋這個區間的意思。（3 分）
第 3 題 （10 分）
擲一顆骰子 120 次，觀察到的次數為 14、27、18、22、19、20。用 5% 顯著水平的 χ² 適合度檢定檢查骰子是否公平（5 自由度、5% 臨界值 = 11.07）。(a) 寫出期望次數並求 χ² 統計量。（7 分）(b) 寫出結論。（3 分）
第 4 題 （9 分）
12 對配對數據中，8 對的後測值高於前測、3 對的前測值較高、1 對相同。用符號檢定（sign test）在 5% 顯著水平檢驗中位數有沒有改變。(a) 寫出檢定統計量與有效樣本數。（3 分）(b) 求雙尾 p 值。（4 分）(c) 寫出結論。（2 分）
第 5 題 （9 分）
離散隨機變數 X 的機率母函數（probability generating function）為 G(t) = (1/3)t + (1/2)t² + (1/6)t³。(a) 求 P(X = 2)。（2 分）(b) 求 E(X)。（3 分）(c) 用 Var(X) = G″(1) + G′(1) − [G′(1)]² 求 Var(X)。（4 分）
問：χ² 統計量 4.7 在 5% 水平下代表什麼？
直接答案：5 自由度的 5% 臨界值為 11.07；4.7 < 11.07，不拒絕「骰子公平」，即沒有足夠證據顯示骰子不公平。
Paper 4 模擬答案
第 1 題
(a) ∫₀³ kx² dx = 9k = 1，故 k = 1/9。(b) E(X) = (1/9)∫₀³ x³ dx = 9/4 = 2.25；E(X²) = (1/9)∫₀³ x⁴ dx = 27/5 = 5.4；Var(X) = 5.4 − 2.25² = 27/80 = 0.3375。(c) P(X > 2) = 1 − (1/9)(2³/3) = 1 − 8/27 = 19/27 ≈ 0.704。
第 2 題
(a) 標準誤 = 1.8/√12 = 0.5196，半寬 = 2.201 × 0.5196 = 1.1437，故區間為 24.6 ± 1.14，即 23.46 至 25.74（取 3 位有效數字為 23.5 至 25.7；題目未指定準確度時，先寫精確值再舍入）。(b) 這個區間的意義在於方法：若重複抽樣並每次用同一方法計算，約 95% 的區間會包含真正的 μ；不能說成「μ 有 95% 機率落在 23.46 至 25.74 之間」。
第 3 題
(a) 若公平，每面期望次數 = 120/6 = 20；χ² = (14−20)²/20 + (27−20)²/20 + (18−20)²/20 + (22−20)²/20 + (19−20)²/20 + 0 = 4.7。(b) 4.7 < 11.07，不拒絕公平的假設：沒有足夠證據顯示骰子不公平。
第 4 題
(a) 去掉相同的 1 對，有效樣本 n = 11；取較少的一邊 X = 3。(b) P(X ≤ 3) = (1 + 11 + 55 + 165)/2¹¹ = 232/2048 = 29/256 ≈ 0.113，雙尾 p 值 ≈ 0.227。(c) 0.227 > 0.05，不拒絕原假設：沒有足夠證據顯示中位數有改變。
第 5 題
(a) t² 的係數就是 P(X = 2) = 1/2。(b) G′(t) = 1/3 + t + (1/2)t²，故 E(X) = G′(1) = 11/6 ≈ 1.833。(c) G″(t) = 1 + t，G″(1) = 2；Var(X) = 2 + 11/6 − (11/6)² = 17/36 ≈ 0.472。
問：這份卷有幾題、幾多分？
直接答案：5 題，共 50 分，與 Paper 4 的 50 分一致；建議用 1 小時 30 分鐘完成。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 機率密度函數未歸一 | 直接積分而不先求 k | 先用 ∫f(x)dx = 1 定出 k | k = 1/9 |
| t 與 z 混用 | 小樣本仍用 1.96 | 小樣本、σ 未知要用 t 值 | 23.46 至 25.74 |
| χ² 自由度計錯 | 六個類別用 6 自由度 | 自由度 = 類別數 − 1 = 5 | 4.7 |
| 符號檢定未剔除相同值 | 把 1 對相同的也算入 | 相同的一對要剔除，n = 11 | p ≈ 0.227 |
| 母函數方差公式漏項 | 只用 G″(1) | Var(X) = G″(1) + G′(1) − [G′(1)]² | 17/36 |
怎樣用這份卷
第一次操卷：完整計時 1 小時 30 分鐘，5 題全做，可用 MF19 與統計表。
對答案：核對自由度、顯著水平與結論句；p 值要與臨界值比較。
第二次操卷：三至七日後重做，目標 70 分鐘內完成。
問：操完 Paper 4 之後應該做什麼？
直接答案：①把自由度與結論句的錯誤抄入錯題本；②三至七日後重做；③按報考路線複習 Paper 1 與 Paper 3，完成整個 9231 循環。
常見問題 FAQ
這份卷同劍橋歷屆試題有關嗎？
沒有。本卷不是劍橋歷屆試題：題目與答案都是 TutorZone 原創，並非官方評卷參考。
A-Level 進階數學 9231 Paper 4 考什麼？
進階機率與統計：連續隨機變數、用常態與 t 分布推論、χ² 檢定、無母數檢定、機率母函數；50 分、1 小時 30 分鐘、5–7 題結構題。
Paper 4 在 AS 與 A-Level 各佔多少？
Paper 4 佔 AS Level 40%、A Level 20%；AS Level 是 Paper 1 加 Paper 3 或 Paper 4。
本卷需要統計表嗎？
需要。每題的臨界值或 t 值都會寫在題目內，方便你在沒有表格時也能核對答案。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| 劍橋 A-Level 進階數學 9231 課程（2026–2027） | 核對 Paper 1–4 的分數、時間與比重 |
| https://www.tutorzone.com.hk/alevel-further-mathematics-9231-paper-3-mock-2027/ | A-Level 進階數學 Paper 3 操卷模擬卷 |
同系列：備考練習題總覽｜A-Level 進階數學 Paper 2 操卷模擬卷｜A-Level 進階數學 Paper 3 操卷模擬卷
