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A-Level 數學操卷方法＋歷屆試題（Paper 5）：排列組合、概率、隨機變量附答案
TUTORZONE 原創操卷模擬卷 · 劍橋 A-Level 數學 (9709) Paper 5（概率與統計 1）
依劍橋 9709 課程（2026–2027）編寫：Paper 5 概率與統計 1 50 分、1 小時 15 分鐘、20% A-Level（6–8 題結構題，必考）。本卷為 Paper 5 操卷，8 題共 50 分，附答案與操卷技巧。
問：A-Level 數學 (9709) Paper 5 考什麼、佔多少分？
直接答案：Paper 5 概率與統計 1 50 分、1 小時 15 分鐘、20% A-Level（6–8 題結構題，必考）。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| Paper 5（概率與統計 1） | 6–8 結構題，50 分 | 20% A-Level | 1 小時 15 分鐘 |
| Paper 6（概率與統計 2） | 6–8 結構題，50 分 | 20% A-Level | 1 小時 15 分鐘 |
A-Level 數學 Paper 5 操卷技巧：8 題在 1 小時 15 分鐘內。排列用 nPr、組合用 nCr；概率寫「1 − 反面概率」；期望值 E(X)=Σx·p(x)。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創操卷模擬卷：題目按劍橋 9709 的卷制（Paper 5 概率與統計 1 50 分、20%）自行編寫，答案為自行演算，並非劍橋歷屆試題或官方評卷參考。
所有數值答案已用程式覆核一次。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| Paper 5（概率與統計 1） | 20% A-Level | 每題約 9 分鐘 | 排列組合、概率、隨機變量 |
| Paper 6（概率與統計 2） | 20% A-Level | 每題約 9 分鐘 | Poisson、假設檢定 |
問：nPr 與 nCr 有什麼分別？
直接答案：nPr 計次序（排列）、nCr 不計次序（組合）。
Paper 5：統計操卷（8 題，50 分）
排列 nPr、組合 nCr；概率寫 1 − 反面。
第 1 題 （6 分）
從 5 個不同的人中選 3 個排成一列，有多少種排法？
第 2 題 （6 分）
擲兩枚公平硬幣，求至少一枚是正面的概率。
第 3 題 （7 分）
離散隨機變量 X 取值 1、2、3，概率各為 1/3。求 E(X)。
第 4 題 （7 分）
求數據 4、6、8、10 的平均值。
第 5 題 （6 分）
從 6 人中選 2 人組成小組，有多少種選法？
第 6 題 （6 分）
一個袋有 3 紅 2 藍球。抽一個球，求抽到紅球的概率。
第 7 題 （6 分）
X ~ B(2, 0.5) 的二項分佈。求 P(X = 0)。
第 8 題 （6 分）
擲一枚公平骰子，求擲出偶數的概率。
問：期望值怎樣計算？
直接答案：E(X) = Σ x·p(x)。
Paper 5 答案
第 1 題
⁵P₃ = 5 × 4 × 3 = 60（6 分）。
第 2 題
P = 1 − P(兩枚反面) = 1 − (1/2)² = 1 − 1/4 = 3/4（6 分）。
第 3 題
E(X) = 1/3 + 2/3 + 3/3 = 2（7 分）。
第 4 題
平均 = (4+6+8+10) ÷ 4 = 7（7 分）。
第 5 題
⁶C₂ = 6! ÷ (2!×4!) = 15（6 分）。
第 6 題
P(紅) = 3 ÷ 5 = 3/5（6 分）。
第 7 題
P(X=0) = (0.5)² = 1/4（6 分）。
第 8 題
偶數 = 2、4、6，P = 3/6 = 1/2（6 分）。
問：本卷操練哪些課題？
直接答案：排列組合、概率、期望值、二項分佈。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 排列/組合混 | 選 3 排當 C 不是 P | 排列計次序用 nPr | ⁵P₃ = 60 |
| 至少一個漏 1− | 只寫反面概率 | 至少一個 = 1 − 反面 | 1 − 1/4 = 3/4 |
| 期望值漏 | 只寫概率 | E(X) = Σx·p(x) | E(X) = 2 |
怎樣用這份卷
第一次操卷：完整計時 1 小時 15 分鐘，8 題全做，中途不翻資料。
對答案：核對 nPr/nCr 與概率公式。
第二次操卷：三至七日後重做，目標 1 小時內完成。
問：操完這份卷之後應該做什麼？
直接答案：①把排列組合或概率公式錯的題目抄入錯題本；②三至七日後再操；③操練 Paper 6 概率與統計 2。
常見問題 FAQ
這份卷同劍橋歷屆試題有關嗎？
沒有。題目與答案都是 TutorZone 原創，並非劍橋歷屆試題或官方評卷參考。
A-Level 數學 Paper 5 考什麼？
概率與統計 1：排列組合、概率、離散隨機變量、正態分佈，50 分、20% A-Level。
nPr 與 nCr 有什麼分別？
nPr 計次序（排列）、nCr 不計次序（組合）。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| 劍橋 A-Level 數學 9709 課程（2026–2027） | 核對 Paper 1–6 分數與時間 |
| https://www.tutorzone.com.hk/alevel-mathematics-9709-paper-4-mock-2027/ | A-Level 數學 Paper 4 力學操卷模擬卷 |
