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AP Precalculus 操卷方法＋歷屆試題：多項式、指數對數、三角函數附答案
TUTORZONE 原創操卷模擬卷 · AP Precalculus
依 College Board 最新考試格式編寫：全卷 2 小時 55 分鐘、只考單元一至三。Section I 多項選擇 42 題、105 分鐘、約 63%（甲部 29 題不准用計算機、乙部 13 題需圖形計算機）；Section II 自由作答 4 題、70 分鐘、約 37%（每題 6 分）。本卷示範 6 題多項式、指數對數與三角的操卷方法，附答案與操卷技巧。
問：AP Precalculus 考什麼、佔多少分？
直接答案：全卷 2 小時 55 分鐘、只考單元一至三：多項選擇 42 題、105 分鐘、約 63%；自由作答 4 題、70 分鐘、約 37%（每題 6 分）。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| Section I 甲部（多項選擇，不准用計算機） | 29 題：代數操作與圖像推理 | 44% | 65 分鐘 |
| Section I 乙部（多項選擇，需用圖形計算機） | 13 題：部分需圖形計算機（弧度模式） | 19% | 40 分鐘 |
| Section II 甲部（自由作答，需用圖形計算機） | 2 題：函數概念、非週期情境建模 | 19% | 35 分鐘 |
| Section II 乙部（自由作答，不准用計算機） | 2 題：週期情境建模、符號運算 | 19% | 35 分鐘 |
AP Precalculus 操卷技巧：單元一多項式與有理函數佔選擇題 30–40%、單元二指數對數佔 25–40%、單元三三角與極座標佔 30–35%，單元四不考。變化率題先分清平均變化率與瞬時變化率；對數方程先化為同底；三角方程要寫出全部通解。自由作答每題 6 分，記得解釋模型參數的實際意義。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創操卷模擬卷：題目按 College Board AP Precalculus 的格式自行編寫，答案為自行演算，並非 College Board 歷屆試題或官方評卷參考。
所有數值答案已用程式覆核一次；試卷結構與單元比重取自官方考試頁及課程與考試說明。
本卷六題覆蓋多項式零點與變化率、有理函數漸近線、指數模型與翻倍時間、對數方程、第二象限三角值與正弦函數振幅週期六個高頻位置。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| Section I 甲部（多項選擇，不准用計算機） | 44% | 每題約 2 分 14 秒 | 先做函數與變化率 |
| Section I 乙部（多項選擇，需用圖形計算機） | 19% | 每題約 3 分鐘 | 先設好弧度模式與視窗 |
| Section II 甲部（自由作答，需用圖形計算機） | 19% | 每題約 17 分鐘 | 寫出模型參數的意義 |
| Section II 乙部（自由作答，不准用計算機） | 19% | 每題約 17 分鐘 | 三角方程要寫通解 |
問：AP Precalculus 哪個單元佔分最重？
直接答案：多項選擇部分：單元一多項式與有理函數 30–40%、單元二指數與對數函數 25–40%、單元三三角與極座標函數 30–35%；單元四不考。
操卷（6 題示範）
示範單元一至三：多項式、有理函數、指數模型、對數、三角與正弦函數。
第 1 題 （8 分）
設 p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6。求 p 的所有零點，並求 p 在區間 [0, 2] 上的平均變化率。
第 2 題 （8 分）
設 g(x) = (x + 1) ÷ (x² − 4)。求 g 的垂直漸近線與水平漸近線，並寫出 x → ∞ 時 g(x) 的極限。
第 3 題 （8 分）
某城市人口模型為 A(t) = 500 × 1.04ᵗ（t 以年計，A 以千人計）。求 A(3)，並求人口翻倍所需的年數（四捨五入至 0.01 年）。
第 4 題 （8 分）
①解 log₂(x + 5) = 3；②把 3 log x − log y 化為單一對數。
第 5 題 （8 分）
已知 sin θ = 0.6 且 θ 在第二象限。求 θ（弧度與度，四捨五入至三位小數／兩位小數），並求 cos θ。
第 6 題 （8 分）
函數 y = 4 sin[π(x − 1) ÷ 3] + 7。寫出振幅、週期、中線與最大值。
問：這份卷操練哪些課題？
直接答案：多項式零點與平均變化率、有理函數漸近線、指數模型與翻倍時間、對數方程、第二象限三角值、正弦函數的振幅與週期。
各題答案與評分
第 1 題
p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)，零點為 x = 1、2、3（4 分）；平均變化率 = [p(2) − p(0)] ÷ (2 − 0) = (0 + 6) ÷ 2 = 3（4 分）。
第 2 題
分母 x² − 4 = 0 → 垂直漸近線 x = 2 與 x = −2（4 分）；分子的次數（1）低於分母（2），故水平漸近線 y = 0，x → ∞ 時 g(x) → 0（4 分）。
第 3 題
A(3) = 500 × 1.04³ ≈ 562.43（千人，4 分）；翻倍時間 = ln 2 ÷ ln 1.04 ≈ 17.67 年（4 分）。
第 4 題
①x + 5 = 2³ = 8 → x = 3（4 分）；②3 log x − log y = log x³ − log y = log(x³ ÷ y)（4 分）。
第 5 題
θ = π − arcsin 0.6 ≈ 2.498 rad ≈ 143.13°（4 分）；第二象限 cos 為負，cos θ = −√(1 − 0.6²) = −0.8（4 分）。
第 6 題
振幅 = 4（2 分）；週期 = 2π ÷ (π/3) = 6（2 分）；中線 y = 7（2 分）；最大值 7 + 4 = 11（2 分）。
問：AP Precalculus 甚麼時候不可以用計算機？
直接答案：選擇題甲部 29 題（65 分鐘）與自由作答乙部 2 題（35 分鐘）不准用計算機；其餘部分要求使用圖形計算機並設弧度模式。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 平均與瞬時變化率混用 | 直接代入區間端點當瞬時 | 兩者定義不同 | 平均用 (f(b) − f(a)) ÷ (b − a) |
| 漸近線只看分母 | 漏寫水平漸近線 | 少一半分數 | 比較分子分母次數 |
| 三角方程只寫一個解 | 只寫 2.498 | 漏通解 | 寫 θ = π − arcsin 0.6 + 2kπ |
怎樣用這份卷
第一次操卷：完整計時，6 題全做，甲部不准用計算機。
對答案：核對弧度模式、四捨五入位數與模型參數的意義。
第二次操卷：三至七日後重做，目標在 45 分鐘內完成 6 題。
問：操完這份卷之後應該做什麼？
直接答案：①把變化率與三角方程漏通解的題目抄入錯題本；②三至七日後再操一次；③接續操 AP 微積分 AB 模擬卷，把函數基礎轉成極限與導數。
常見問題 FAQ
這份卷同 College Board 歷屆試題有關嗎？
沒有。題目與答案都是 TutorZone 原創，並非 College Board 歷屆試題或官方評卷參考。
AP Precalculus 考什麼、佔多少分？
2 小時 55 分鐘，只考單元一至三：多項選擇 42 題、105 分鐘、約 63%；自由作答 4 題、70 分鐘、約 37%。
考試全程都可以用計算機嗎？
不是。選擇題甲部 29 題與自由作答乙部 2 題不准用計算機，其餘部分要求使用圖形計算機（弧度模式）。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| College Board AP Precalculus 考試頁 | 核對考試格式、題數與計算機政策 |
| 官方課程及考試說明（CED） | 核對單元一至三的多項選擇比重 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ap-calculus-ab-mock-2027/ | AP 微積分 AB 操卷模擬卷 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ap-calculus-past-paper-drill-guide/ | AP 微積分操卷攻略 |
