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A-Level 数学刷题方法＋历年试题（Paper 3）：复数、对数、部分分式附答案
TUTORZONE 原创刷题模拟卷 · 剑桥 A-Level 数学 (9709) Paper 3（纯数 3）
依剑桥 9709 课程（2026–2027）编写：Paper 3 纯数 3 75 分、1 小时 50 分钟、30% A-Level（9–11 题结构题，必考）。本卷为 Paper 3 刷题，10 题共 75 分，附答案与刷题技巧。
问：A-Level 数学 (9709) Paper 3 考什么、占多少分？
直接答案：Paper 3 纯数 3 75 分、1 小时 50 分钟、30% A-Level（9–11 题结构题，必考）。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| Paper 3（纯数 3） | 9–11 结构题，75 分 | 30% A-Level | 1 小时 50 分钟 |
| Paper 1（纯数 1） | 10–12 结构题，75 分 | 30% A-Level | 1 小时 50 分钟 |
A-Level 数学 Paper 3 刷题技巧：10 题在 1 小时 50 分钟内。复数求模写 √(a²+b²)；对数用换底与定义；部分分式先设待定系数。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创刷题模拟卷：题目按剑桥 9709 的卷制（Paper 3 纯数 3 75 分、30%）自行编写，答案为自行演算，并非剑桥历届试题或官方评卷参考。
所有数值答案已用程式复核一次。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| Paper 3（纯数 3） | 30% A-Level | 每题约 11 分钟 | 复数、对数、微积分、向量 |
| Paper 1（纯数 1） | 30% A-Level | 每题约 11 分钟 | 代数、坐标几何、微积分 |
问：复数 3+4i 的模是多少？
直接答案：√(3²+4²) = 5。
Paper 3：纯数刷题（10 题，75 分）
复数求模、对数换底、部分分式待定系数。
第 1 题 （8 分）
求 f(x) = x³ 在 x = 2 的导数。
第 2 题 （8 分）
求 ∫ x² dx。
第 3 题 （7 分）
求 log₂ 8。
第 4 题 （8 分）
求复数 z = 3 + 4i 的模（modulus）。
第 5 题 （8 分）
解方程 eˣ = 5（答案保留三位有效数字）。
第 6 题 （7 分）
求 sin x = 0.5 在 0 ≤ x ≤ 2π 的所有解。
第 7 题 （7 分）
把 1/(x−1)(x+1) 拆成部分分式。
第 8 题 （7 分）
求向量 a = (3, 4) 的大小。
第 9 题 （7 分）
求 (1 + x)⁵ 展开式中 x² 的系数。
第 10 题 （8 分）
求 lim(x→0) sin x / x。
问：log₂ 8 是多少？
直接答案：3（因为 2³ = 8）。
Paper 3 答案
第 1 题
f'(x) = 3x²，f'(2) = 3×4 = 12（8 分）。
第 2 题
∫ x² dx = x³/3 + C（8 分）。
第 3 题
log₂ 8 = log₂(2³) = 3（7 分）。
第 4 题
|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5（8 分）。
第 5 题
x = ln 5 ≈ 1.61（8 分）。
第 6 题
x = π/6 或 5π/6（7 分）。
第 7 题
1/((x−1)(x+1)) = 1/2(x−1) − 1/2(x+1)（7 分）。
第 8 题
|a| = √(3² + 4²) = 5（7 分）。
第 9 题
系数 = C(5,2) = 10（7 分）。
第 10 题
lim(x→0) sin x / x = 1（标准极限）（8 分）。
问：本卷操练哪些课题？
直接答案：微积分、复数、对数、三角、部分分式、向量、二项式展开。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 复数求模漏平方根 | 写 3+4=7 | |z|=√(a²+b²) | |z| = 5 |
| 对数漏底 | log₂8 当 log8 | log₂8 = 3 | 3 |
| 部分分式漏负号 | 两项都加 | 要减 1/2(x+1) | 1/2(x−1) − 1/2(x+1) |
怎样用这份卷
第一次刷题：完整计时 1 小时 50 分钟，10 题全做，中途不翻资料。
对答案：核对复数、对数与部分分式步骤。
第二次刷题：三至七日后重做，目标 1 小时 35 分钟内完成。
问：操完这份卷之后应该做什么？
直接答案：①把复数或部分分式步骤错的题目抄入错题本；②三至七日后再操；③操练 Paper 4 力学。
常见问题 FAQ
这份卷同剑桥历届试题有关吗？
没有。题目与答案都是 TutorZone 原创，并非剑桥历届试题或官方评卷参考。
A-Level 数学 Paper 3 考什么？
纯数 3：复数、对数、三角、微积分、向量、部分分式、二项式展开，75 分、30% A-Level。
复数 3+4i 的模是多少？
√(3²+4²) = 5。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| 剑桥 A-Level 数学 9709 课程（2026–2027） | 核对 Paper 1–6 分数与时间 |
| https://www.tutorzone.com.hk/alevel-mathematics-9709-paper-1-mock-2027/ | A-Level 数学 Paper 1 刷题模拟卷 |
