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AP Precalculus 刷题方法＋历年试题：多项式、指数对数、三角函数附答案
TUTORZONE 原创刷题模拟卷 · AP Precalculus
依 College Board 最新考试格式编写：全卷 2 小时 55 分钟、只考单元一至三。Section I 多项选择 42 题、105 分钟、约 63%（甲部 29 题不准用计算机、乙部 13 题需图形计算机）；Section II 自由作答 4 题、70 分钟、约 37%（每题 6 分）。本卷示范 6 题多项式、指数对数与三角的刷题方法，附答案与刷题技巧。
问：AP Precalculus 考什么、占多少分？
直接答案：全卷 2 小时 55 分钟、只考单元一至三：多项选择 42 题、105 分钟、约 63%；自由作答 4 题、70 分钟、约 37%（每题 6 分）。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| Section I 甲部（多项选择，不准用计算机） | 29 题：代数操作与图像推理 | 44% | 65 分钟 |
| Section I 乙部（多项选择，需用图形计算机） | 13 题：部分需图形计算机（弧度模式） | 19% | 40 分钟 |
| Section II 甲部（自由作答，需用图形计算机） | 2 题：函数概念、非周期情境建模 | 19% | 35 分钟 |
| Section II 乙部（自由作答，不准用计算机） | 2 题：周期情境建模、符号运算 | 19% | 35 分钟 |
AP Precalculus 刷题技巧：单元一多项式与有理函数占选择题 30–40%、单元二指数对数占 25–40%、单元三三角与极座标占 30–35%，单元四不考。变化率题先分清平均变化率与瞬时变化率；对数方程先化为同底；三角方程要写出全部通解。自由作答每题 6 分，记得解释模型参数的实际意义。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创刷题模拟卷：题目按 College Board AP Precalculus 的格式自行编写，答案为自行演算，并非 College Board 历届试题或官方评卷参考。
所有数值答案已用程式复核一次；试卷结构与单元比重取自官方考试页及课程与考试说明。
本卷六题覆盖多项式零点与变化率、有理函数渐近线、指数模型与翻倍时间、对数方程、第二象限三角值与正弦函数振幅周期六个高频位置。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| Section I 甲部（多项选择，不准用计算机） | 44% | 每题约 2 分 14 秒 | 先做函数与变化率 |
| Section I 乙部（多项选择，需用图形计算机） | 19% | 每题约 3 分钟 | 先设好弧度模式与视窗 |
| Section II 甲部（自由作答，需用图形计算机） | 19% | 每题约 17 分钟 | 写出模型参数的意义 |
| Section II 乙部（自由作答，不准用计算机） | 19% | 每题约 17 分钟 | 三角方程要写通解 |
问：AP Precalculus 哪个单元占分最重？
直接答案：多项选择部分：单元一多项式与有理函数 30–40%、单元二指数与对数函数 25–40%、单元三三角与极座标函数 30–35%；单元四不考。
刷题（6 题示范）
示范单元一至三：多项式、有理函数、指数模型、对数、三角与正弦函数。
第 1 题 （8 分）
设 p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6。求 p 的所有零点，并求 p 在区间 [0, 2] 上的平均变化率。
第 2 题 （8 分）
设 g(x) = (x + 1) ÷ (x² − 4)。求 g 的垂直渐近线与水平渐近线，并写出 x → ∞ 时 g(x) 的极限。
第 3 题 （8 分）
某城市人口模型为 A(t) = 500 × 1.04ᵗ（t 以年计，A 以千人计）。求 A(3)，并求人口翻倍所需的年数（四舍五入至 0.01 年）。
第 4 题 （8 分）
①解 log₂(x + 5) = 3；②把 3 log x − log y 化为单一对数。
第 5 题 （8 分）
已知 sin θ = 0.6 且 θ 在第二象限。求 θ（弧度与度，四舍五入至三位小数／两位小数），并求 cos θ。
第 6 题 （8 分）
函数 y = 4 sin[π(x − 1) ÷ 3] + 7。写出振幅、周期、中线与最大值。
问：这份卷操练哪些课题？
直接答案：多项式零点与平均变化率、有理函数渐近线、指数模型与翻倍时间、对数方程、第二象限三角值、正弦函数的振幅与周期。
各题答案与评分
第 1 题
p(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)，零点为 x = 1、2、3（4 分）；平均变化率 = [p(2) − p(0)] ÷ (2 − 0) = (0 + 6) ÷ 2 = 3（4 分）。
第 2 题
分母 x² − 4 = 0 → 垂直渐近线 x = 2 与 x = −2（4 分）；分子的次数（1）低于分母（2），故水平渐近线 y = 0，x → ∞ 时 g(x) → 0（4 分）。
第 3 题
A(3) = 500 × 1.04³ ≈ 562.43（千人，4 分）；翻倍时间 = ln 2 ÷ ln 1.04 ≈ 17.67 年（4 分）。
第 4 题
①x + 5 = 2³ = 8 → x = 3（4 分）；②3 log x − log y = log x³ − log y = log(x³ ÷ y)（4 分）。
第 5 题
θ = π − arcsin 0.6 ≈ 2.498 rad ≈ 143.13°（4 分）；第二象限 cos 为负，cos θ = −√(1 − 0.6²) = −0.8（4 分）。
第 6 题
振幅 = 4（2 分）；周期 = 2π ÷ (π/3) = 6（2 分）；中线 y = 7（2 分）；最大值 7 + 4 = 11（2 分）。
问：AP Precalculus 什么时候不可以用计算机？
直接答案：选择题甲部 29 题（65 分钟）与自由作答乙部 2 题（35 分钟）不准用计算机；其余部分要求使用图形计算机并设弧度模式。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 平均与瞬时变化率混用 | 直接代入区间端点当瞬时 | 两者定义不同 | 平均用 (f(b) − f(a)) ÷ (b − a) |
| 渐近线只看分母 | 漏写水平渐近线 | 少一半分数 | 比较分子分母次数 |
| 三角方程只写一个解 | 只写 2.498 | 漏通解 | 写 θ = π − arcsin 0.6 + 2kπ |
怎样用这份卷
第一次刷题：完整计时，6 题全做，甲部不准用计算机。
对答案：核对弧度模式、四舍五入位数与模型参数的意义。
第二次刷题：三至七日后重做，目标在 45 分钟内完成 6 题。
问：操完这份卷之后应该做什么？
直接答案：①把变化率与三角方程漏通解的题目抄入错题本；②三至七日后再操一次；③接续操 AP 微积分 AB 模拟卷，把函数基础转成极限与导数。
常见问题 FAQ
这份卷同 College Board 历届试题有关吗？
没有。题目与答案都是 TutorZone 原创，并非 College Board 历届试题或官方评卷参考。
AP Precalculus 考什么、占多少分？
2 小时 55 分钟，只考单元一至三：多项选择 42 题、105 分钟、约 63%；自由作答 4 题、70 分钟、约 37%。
考试全程都可以用计算机吗？
不是。选择题甲部 29 题与自由作答乙部 2 题不准用计算机，其余部分要求使用图形计算机（弧度模式）。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| College Board AP Precalculus 考试页 | 核对考试格式、题数与计算机政策 |
| 官方课程及考试说明（CED） | 核对单元一至三的多项选择比重 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ap-calculus-ab-mock-2027/ | AP 微积分 AB 刷题模拟卷 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ap-calculus-past-paper-drill-guide/ | AP 微积分刷题攻略 |
