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HKDSE 数学（必修部分）Paper 1 模拟卷｜15 题・105 分・2 小时 15 分钟
练习卷 · HKDSE 数学 Paper 1
HKDSE 数学（必修部分）Paper 1 模拟卷：15 题长题目、105 分、2 小时 15 分钟，分为甲部（一）、甲部（二）及乙部，涵盖百分数、指数、二次方程、联立方程、统计、三角、概率、立体图形、坐标几何与数列，全部数值由程式计算并附完整步骤与评分要点。
卷面资料 年级：中六（HKDSE） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：135 分钟 ｜ 总分：105 分 ｜ 题数：15
甲部（一）（35 分）
全部题目均须作答，须列出计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 1. (4 分) 一件外套的成本是 $480，标价比成本高 25%，其后以标价的八五折售出。 (a) 求标价。 (b) 求售价。 (c) 求盈利百分率。 |
答案：(a) 标价 = 480 × 1.25 = $600（1 分） (b) 售价 = 600 × 0.85 = $510（1 分） (c) 盈利 = 510 − 480 = $30（1 分）；盈利百分率 = 30 ÷ 480 × 100% = 6.25%（1 分） |
| 2 | 2. (4 分) 化简 4^(2n+1) ÷ 8^(n−1)，并求 n = 3 时的值。 |
答案：4^(2n+1) = 2^(4n+2)（1 分）；8^(n−1) = 2^(3n−3)（1 分）； 商 = 2^(4n+2−3n+3) = 2^(n+5)（1 分）； n = 3 时，值 = 2^8 = 256（1 分） |
| 3 | 3. (4 分) 已知 x + 1/x = 5 及 x ≠ 0。 (a) 求 x² + 1/x²。 (b) 由此求 x⁴ + 1/x⁴。 |
答案：(a) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 25（1 分），故 x² + 1/x² = 23（1 分） (b) (x² + 1/x²)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 529（1 分），故 x⁴ + 1/x⁴ = 527（1 分） |
| 4 | 4. (5 分) 一个长方形的周界是 34 cm，面积是 60 cm²。 (a) 设阔为 w cm，以 w 建立一个二次方程。（2 分） (b) 解该方程，并求长方形的长和阔。（3 分） |
答案：(a) 长 = (34 − 2w)/2 = 17 − w；w(17 − w) = 60，即 w² − 17w + 60 = 0（2 分） (b) 判别式 = 17² − 4×60 = 289 − 240 = 49 = 7²（1 分）； w = (17 ± 7)/2 = 5 或 12（1 分）； 故长 12 cm、阔 5 cm（1 分） |
| 5 | 5. (4 分) 解联立方程 2x + 3y = 18 5x − 2y = 7 |
答案：(1)×2：(2) 4x + 6y = 36（1 分）；(2)×3：15x − 6y = 21（1 分）； 两式相加：19x = 57，x = 3（1 分）； 代回：2(3) + 3y = 18，y = 4（1 分） 答：x = 3，y = 4 |
| 6 | 6. (5 分) 某组数据为 4, 7, 7, 9, 13。求 (a) 平均数； (b) 中位数； (c) 全距； (d) 标准差（准确至 3 位有效数字）。 |
答案：(a) 平均数 = (4+7+7+9+13)/5 = 40/5 = 8（1 分） (b) 中位数 = 7（1 分） (c) 全距 = 13 − 4 = 9（1 分） (d) 偏差平方和 = 16+1+1+1+25 = 44（1 分）；方差 = 44/5 = 8.8，标准差 = √8.8 ≈ 2.97（1 分） |
| 7 | 7. (4 分) 一把长 6.5 m 的梯子斜靠在一道垂直的墙上，梯脚与墙脚相距 2.5 m。 (a) 求梯顶离地的高度。 (b) 求梯子与地面所成的角（准确至 0.1°）。 |
答案：(a) 由毕氏定理：h² = 6.5² − 2.5² = 42.25 − 6.25 = 36（1 分），h = 6 m（1 分） (b) tan θ = 6/2.5 = 2.4（1 分），θ ≈ 67.4°（1 分） |
| 8 | 8. (5 分) 一个袋中有 5 个红球、3 个蓝球和 2 个绿球。从袋中随机抽出两个球，不放回。 (a) 求抽到两个红球的概率。 (b) 求至少抽到一个红球的概率。 |
答案：(a) P(两个红球) = (5/10) × (4/9) = 20/90 = 2/9（3 分） (b) P(至少一个红球) = 1 − P(两个都不是红球) = 1 − (5/10 × 4/9) = 1 − 10/45 = 7/9（2 分） |
甲部（二）（35 分）
全部题目均须作答，须列出计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 9. (8 分) 一个实心复合立体由一个圆柱和一个同底圆锥组成。圆柱的半径是 6 cm、高 10 cm；圆锥的高是 8 cm。 (a) 求该立体的体积，以 π 表示。（3 分） (b) 求该立体的总表面积（包括底面），以 π 表示。（3 分） (c) 若油漆每平方厘米成本 $0.05，求油漆整个表面的费用（准确至最接近的 $0.1）。（2 分） |
答案：(a) V = π(6²)(10) + (1/3)π(6²)(8) = 360π + 96π = 456π cm³ ≈ 1432.6 cm³（3 分） (b) 斜高 = √(6² + 8²) = 10 cm；S = 2π(6)(10) + π(6²) + π(6)(10) = 120π + 36π + 60π = 216π cm² ≈ 678.6 cm²（3 分） (c) 费用 = 216π × 0.05 = 10.8π ≈ $33.9（2 分） |
| 10 | 10. (9 分) 已知 y 部分随 x 而变，部分随 x² 而变。当 x = 2 时，y = 10；当 x = 3 时，y = 24。 (a) 以 x 表示 y。（5 分） (b) 求 x = 5 时 y 的值。（2 分） (c) 若 y = 44 且 x > 0，求 x。（2 分） |
答案：(a) 设 y = ax + bx²。2a + 4b = 10 及 3a + 9b = 24（2 分）； 化简得 a + 2b = 5、a + 3b = 8，故 b = 3、a = −1（2 分）； 答：y = 3x² − x（1 分） (b) x = 5：y = 75 − 5 = 70（2 分） (c) 3x² − x − 44 = 0，判别式 = 1 + 528 = 529 = 23²（1 分）；x = (1 + 23)/6 = 4（1 分） |
| 11 | 11. (9 分) 已知 A(1, 2) 及 B(7, 10)。 (a) 求 AB 的长度。（3 分） (b) 求 AB 的垂直平分线的方程。（3 分） (c) 求以 AB 为直径的圆的方程。（3 分） |
答案：(a) AB = √((7−1)² + (10−2)²) = √(36 + 64) = 10（3 分） (b) 中点 = (4, 6)；AB 的斜率 = 8/6 = 4/3（1 分），故垂直平分线斜率 = −3/4（1 分）； y − 6 = −3/4 (x − 4)，即 3x + 4y = 36（1 分） (c) 圆心 (4, 6)、半径 5（1 分）；方程 (x − 4)² + (y − 6)² = 25（2 分） |
| 12 | 12. (9 分) $50,000 存入银行，年利率 4%，每年复利一次，为期 3 年。 (a) 求 3 年后的本利和及利息（准确至 2 位小数）。（4 分） (b) 若按单利计算，利息会少收多少？（2 分） (c) 若改为每半年复利一次，3 年后的本利和是多少？（3 分） |
答案：(a) 本利和 = 50 000 × 1.04³ = $56 243.20（3 分）；利息 = $6 243.20（1 分） (b) 单利 = 50 000 × 4% × 3 = $6 000；少收 = 6 243.20 − 6 000 = $243.20（2 分） (c) 50 000 × (1.02)⁶ = $56 308.12（3 分） |
乙部（35 分）
全部题目均须作答，须列出计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 13 | 13. (11 分) 设 f(x) = x² − 6x + 5。 (a) 以配方法把 f(x) 写成 (x − h)² + k 的形式。（3 分） (b) 写出顶点及对称轴。（2 分） (c) 解 f(x) = 0。（2 分） (d) 求使 f(x) 为负数的 x 范围。（2 分） (e) 若 g(x) = f(x) − 5，求 g(x) = 0 的根。（2 分） |
答案：(a) f(x) = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4（3 分） (b) 顶点 (3, −4)（1 分）；对称轴 x = 3（1 分） (c) (x − 1)(x − 5) = 0，x = 1 或 5（2 分） (d) 图象开口向上，故 x 在 1 与 5 之间（2 分） (e) g(x) = x² − 6x = x(x − 6)，根为 x = 0 或 6（2 分） |
| 14 | 14. (12 分) 在长方体 ABCDEFGH 中，ABCD 是底面，AB = 8 cm、BC = 6 cm，高 AE = 5 cm。 (a) 求对角线 AC 的长度。（3 分） (b) 求空间对角线 AG 的长度（以根式表示，并取近似值至 2 位小数）。（4 分） (c) 求 AG 与底面 ABCD 所成的角（准确至 0.1°）。（3 分） (d) 求 AG 与棱 AE 所成的角（准确至 0.1°）。（2 分） |
答案：(a) AC = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm（3 分） (b) AG = √(8² + 6² + 5²) = √125 = 5√5 ≈ 11.18 cm（4 分） (c) 设 θ 为 AG 与底面的角，tan θ = 5/10 = 0.5（2 分），θ ≈ 26.6°（1 分） (d) cos φ = 5/(5√5)（1 分），φ ≈ 63.4°（1 分） |
| 15 | 15. (12 分) 下表显示 30 名学生每月阅读时数（小时）的分布： 0–10：4 人；10–20：8 人；20–30：10 人；30–40：6 人；40–50：2 人。 (a) 求平均数。（4 分） (b) 求中位数所在组及中位数。（4 分） (c) 求阅读时数少于 20 小时的学生所占百分率。（2 分） (d) 随机选出一名学生，求其时数不少于 30 小时的概率。（2 分） |
答案：(a) 总时数 = 5×4 + 15×8 + 25×10 + 35×6 + 45×2 = 20 + 120 + 250 + 210 + 90 = 690（3 分）；平均数 = 690/30 = 23 小时（1 分） (b) 中位数是第 15 及第 16 个数据的平均；累积频数 4、12，故中位数组为 20–30（2 分）； 中位数 = 20 + (15 − 12)/10 × 10 = 23 小时（2 分） (c) (4 + 8)/30 × 100% = 40%（2 分） (d) (6 + 2)/30 = 4/15 ≈ 0.267（2 分） |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
