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IB 数学 AA HL 刷题方法＋历年试题（Paper 1）：10 题无计算器精确值练习附答案
TUTORZONE 原创模拟试卷 · IB 数学 AA（分析与方法）HL 卷一
IB 数学 AA（分析与方法）与 AI 最大的分别在于 AA 卷一不准使用计算机，答案须为精确值（根式、分数、π），刷题重点是代数推导与证明。AA HL：Paper 1（无计算机）110 分／2 小时／30%、Paper 2（有计算机）110 分／2 小时／30%、Paper 3（无计算机）55 分／1 小时／20%，数学探究 20%。本卷为 10 题无计算机练习（按卷一题型编写，本卷共 80 分），附精确值答案。
问：IB 数学 AA HL 卷一考什么、占多少？
直接答案：IB 数学 AA（分析与方法）HL 卷一无计算机、110 分、2 小时、占全科 30%；卷二有计算机 110 分、2 小时、30%；卷三（HL 专属）无计算机 55 分、1 小时、20%；数学探究占 20%。AA 卷一无计算机，答案须为精确值（根式、分数、π），这正是与 AI（每份卷都可用 GDC）的分别。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（无计算机） | 必答短答题；HL 110 分、2 小时、占 30% | HL 30% / SL 40% | 2 小时 |
| Paper 2（有计算机） | 必答延伸答题；HL 110 分、2 小时、占 30% | HL 30% / SL 40% | 2 小时 |
| Paper 3（HL 专属，无计算机） | 两题必答的延伸问题解决题；55 分、1 小时、占 20% | HL 20% (HL only) | 1 小时 |
| 数学探究（IA） | 两级均占 20%；建议 15 小时 | 20% (SL and HL) | 建议 15 小时 |
官方 HL 卷一为 120 分钟、110 分；本卷 10 题，每题约 11 分钟。无计算机的失分通常不是计算慢，而是“留了小数而没有精确值”——AA 卷的答案要根式、分数或 π，不是近似值。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创模拟试卷：题目按 IB 数学 AA 的卷制（HL 卷一无计算机、30%、2 小时）自行编写，答案为自行演算的精确值，并非 IBO 历届试题或官方评卷参考。
本卷 10 题短答共 80 分（官方 HL 卷一为 110 分、2 小时）。所有数值答案已用程式复核一次；答案以精确值（根式、分数、π）表示，符合 AA 卷一无计算机的要求。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（无计算机） | HL 30% / SL 40% | 约 110 分钟，留 10 分钟复核 | 答案要精确值（根式、分数、π），不能留小数 |
| Paper 2（有计算机） | HL 30% / SL 40% | 延伸答题，可用 GDC | 先列方法再计算 |
| Paper 3（HL 专属，无计算机） | HL 20% (HL only) | 每题约 26 分钟 | 先写解题路线与假设 |
| 数学探究（IA） | 20% (SL and HL) | 选题、推导、计算、诠释四阶段 | 选一个可作数学探究的问题 |
问：这份模拟卷有几多题、时间怎样分配？
直接答案：本卷 10 题短答、共 80 分（官方 HL 卷一为 110 分、2 小时），建议 110 分钟完成、留 10 分钟复核（每题约 11 分钟）。答案一律以精确值（根式、分数、π）表示。
Paper 1：无计算机短答题（10 题，80 分）
全部必答，建议 110 分钟完成，留 10 分钟复核。答案须为精确值。
第 1 题 （8 分）
设复数 z = 2 + 3i。求 z² 及 |z|（以根式表示）。
第 2 题 （8 分）
设向量 a = 3i − 4j、b = i + 2j。求点积 a·b 及 |a|。
第 3 题 （8 分）
一等比数列首项为 2、公比为 3。求前 5 项之和。
第 4 题 （8 分）
在 0 ≤ x ≤ 2π 的范围内解 sin x = 1/2，并以 π 表示答案。
第 5 题 （8 分）
设 f(x) = x³ − 3x² + 2。求 f′(x) 及 f′(1)。
第 6 题 （8 分）
计算定积分 ∫₁³ (2x + 3) dx。
第 7 题 （8 分）
解方程 log₂(x) = 5。
第 8 题 （8 分）
解方程 2^(x+1) = 8。
第 9 题 （8 分）
设 f(x) = 2x + 1。求反函数 f⁻¹(x)。
第 10 题 （8 分）
一个袋中有 3 个红球和 5 个蓝球。不放回地连续抽出两个球，求两个球都是红色的概率。
问：答案在哪里？会不会只有答案没有过程？
直接答案：每题之后都有“精确答案”段落，写出每一步推导与精确值（例如复数题：展开 4 分、模 4 分），并标明常见失分。不是只有最终答案。
Paper 1 精确答案
第 1 题
①z² = (2+3i)² = 4 + 12i + 9i² = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i（4 分）；②|z| = √(2² + 3²) = √13（4 分）。i² = −1，复数乘法要逐项展开。
第 2 题
①a·b = 3×1 + (−4)×2 = 3 − 8 = −5（4 分）；②|a| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5（4 分）。
第 3 题
S₅ = 2(3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2(243 − 1) ÷ 2 = 242（8 分）。等比求和公式 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)。
第 4 题
sin x = 1/2 在 [0, 2π] 的解为 x = π/6 及 x = 5π/6（各 4 分）。正弦在第二象限亦为正，记得补上 π − π/6。
第 5 题
①f′(x) = 3x² − 6x（4 分）；②f′(1) = 3 − 6 = −3（4 分）。逐项求导：d/dx(x³) = 3x²、d/dx(−3x²) = −6x。
第 6 题
∫(2x+3)dx = x² + 3x（4 分）；[x² + 3x]₁³ = (9 + 9) − (1 + 3) = 18 − 4 = 14（4 分）。
第 7 题
log₂(x) = 5 ⇔ x = 2⁵ = 32（8 分）。对数与指数互为逆运算：log₂(x) = 5 即 x = 2⁵。
第 8 题
8 = 2³，故 2^(x+1) = 2³（4 分）；x + 1 = 3 → x = 2（4 分）。先化同底，再比较指数。
第 9 题
设 y = 2x + 1，交换 x、y 得 x = 2y + 1（4 分）；解出 y = (x − 1) ÷ 2，即 f⁻¹(x) = (x − 1)/2（4 分）。
第 10 题
P = 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28（8 分）。不放回：第二次抽取时分母由 8 变 7。
问：AA 卷一无计算机，最容易失分在哪里？
直接答案：①留小数不留精确值（写 1.41 而不写 √2）；②指数底数未统一就直接比较指数；③不放回概率分母不改。这三项都是“精确值”与“方法”分。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 留小数不留精确值 | 答案写 1.41 | AA 卷一无计算机，要求根式／分数／π | 答案写 √2、3/28、π/6 等精确值 |
| 指数底数未统一 | 直接比较指数 | 底数不同不能直接比指数 | 先化同底，再比较指数 |
| 不放回概率分母不改 | 第二次仍除以 8 | 不放回令分母每次递减 | 第二次抽取时分母改为 7 |
怎样用这份卷
第一次做：关掉参考资料、完整计时 120 分钟，中途不用计算机。
对答案：核对每一步，特别是自己有没有把精确值误写成小数。
第二次做：三至七日后重做，目标是同一题用更少时间、答案完全精确。
问：做完这份卷之后应该做什么？
直接答案：①把漏写精确值的题目抄入错题本；②三至七日后重做同一份，目标是答案完全精确；③按课题操练 Paper 2 与 Paper 3 的延伸题与数学探究。
常见问题 FAQ
这份卷同 IBO 试题有关吗？
没有。题目、答案与评分要点都是 TutorZone 原创，并非 IBO 试题或官方评卷参考。
AA 的 Paper 1 真的不准用计算机吗？
是。AA 卷一无计算机，答案须为精确值；这正是 AA 与 AI（每份卷都可用 GDC）的最大分别。
AA HL 有几份卷？
HL 有三份卷：Paper 1（无计算机）30%、Paper 2（有计算机）30%、Paper 3（无计算机）20%，加数学探究 20%。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| IBO 数学 AA 科目简介（首次评估 2021） | 核对 SL／HL 各卷比重、时间与无计算机政策 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ib-math-aa-past-paper-drill-guide/ | IB 数学 AA 刷题攻略：代数推导与无计算机答题 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ib-math-ai-sl-mock-paper/ | IB 数学 AI SL 模拟卷（每份卷都可用 GDC） |
同系列：IB 模拟试题练习区｜IB 数学 AA 刷题攻略｜IB 数学 AI SL 模拟卷｜IB 数学 AI HL 模拟卷｜IB 数学 AA SL 卷二（GDC 延伸题）
